Question

Permutam-se de todos os modos possíveis os algarismos 1, 2,4, 6 e 8 e escrevem-se os números assim formados em ordem crescente. Que lugar ocupa o número 68412?​

Answer 1

Como 68412 se inicia em 6, este vem depois de todas as permutações iniciadas em 1, 2 ou 4. As permutações iniciadas em 1 são 4!, pois corresponde à permutação dos 4 termos seguintes. Acontece de modo idêntico com 2 e 4, portanto há $3 \cdot 4! = 72$ permutações (i) que estão antes das permutações iniciadas em 6.

Como o segundo dígito é 8, este vem depois das permutações de 1, 2 ou 4 (lembrando que o 6 já foi utilizado no primeiro algarismo). Por exemplo, nos casos em que o 1 é o segundo número, basta permutar os outros 3 elementos, ou seja, $3!$ permutações. Como há 3 opções antes de 8, há $3 \cdot 3! = 18$ permutações (ii) que estão antes das permutações com o 8 como segundo dígito (além do 6 como primeiro).

Como o terceiro dígito é 4, este vem depois das permutações cujo terceiro dígito é 1 ou 2. Como são 2 opções que tem 2 algarismos após ele, há $2 \cdot 2! = 4$ números (iii) que estão antes de números no formato 684xx.

O quarto e quinto dígitos estão colocados em ordem crescente, portanto não interferem na posição do número.

Somando todos os números que estão antes de 68412:
$(i) + (ii) + (iii)\\= 72 + 18 + 4\\= 94$

Como há 94 números na sua frente, este ocupa o lugar 95º.