Question

Pergunta na imagem, peço ajuda por favor

Answer 1

Resposta:

$Forma \ geral: \bold{3x -4y + 30 =0}\\ \\ Forma \ reduzida: \bold{y = \frac{3}{4}x+\frac{15}{2}}$

Explicação passo a passo:

Vamos reverter a equação da circunferência para sua forma reduzida, a fim de facilitar a identificação dos seus elementos.

Pra isso, vamos montar novamente os binômios quadrados:

$x^2-18x + y^2-16y + 96 = 0\\ (x-9)^2+(y-8)^2+96 = 81+64\\ (x-9)^2+(y-8)^2= 49\\ \\ \bold{(x-9)^2+(y-8)^2= 7^2}$

O centro da circunferência é: (9,8)

O raio da circunferência é: 7

Ligando o centro aos pontos A e B, montamos um triângulo isósceles cuja base será o comprimento da corda AB, então com isso podemos achar a altura (h), uma vez que no triângulo isósceles a altura divide a base ao meio:

$h^2 + (\frac{4\sqrt{6}}{2})^2 = 7^2\\ h^2 + (2\sqrt{6})^2 = 49\\ h^2 + 24 = 49\\ \bold{h = 5}$

A altura h = 5 que acabamos de achar é a distância entre o centro da circunferência e a reta r.

Vamos escrever a reta r na forma geral, a partir da forma reduzida:

$y=mx + n \ \ \ (forma \ reduzida)\\ y = \frac{3}{4}x + n\\ 4y = 3x + 4n\\ \bold{-3x + 4y-4n = 0} \ \ \ (forma \ geral)$

Agora podemos aplicar a equação da distância entre ponto e reta.

$d_{centro,reta_r} = \dfrac{|a.{x_o} + b.{y_o} + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\\ \\ \\ 5 = \dfrac{|-3.9 + 4.8 + (-4n)|}{\sqrt{(-3)^2 + (4)^2}}\\ \\ \\ 5 = \dfrac{|-27 + 32 + (-4n)|}{\sqrt{9 + 16}}\\ \\ |5 -4n| = 25$

Daí temos que analisar as duas possibilidades do módulo.

$Se \ |5-4n| = 5-4n\\ 5-4n = 25\\ -4n = 20\\ n = -5$

Esse resultado não é possível, pois foi dito no enunciado que a reta r intercepta o eixo y em ordenada positiva.

Lembre que n é o coeficiente independente na equação reduzida da reta e indica onde ela intercepta o eixo y.

$Se \ |5-4n| = -(5-4n)\\ -5+4n = 25\\ 4n = 30$

$n = \frac{15}{2}$

Esse resultado é possível, pois resultou em n positivo.

Então agora podemos escrever a equação de r

Forma geral:

-3x + 4y - 30 = 0

3x - 4y + 30 = 0

Forma reduzida:

$-3x+4y-30 = 0\\ 4y = 3x+30\\ \\ \underline{\bold{y = \frac{3}{4}x+\frac{15}{2}}}$