Question

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SOBRE MATRIZES.

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Answer 1

Dizemos que B é a matriz inversa da matriz A (quadrada de ordem 'n') se

$A\cdot B=B\cdot A=I_{n}$

Onde In é a matriz identidade de ordem n

$I_{n}=\left[\begin{array}{cccc}1&0&\cdot\cdot\cdot&0\\0&1&\cdot\cdot\cdot&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdot\cdot\cdot&1\end{array}\right]$
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1)

Duas matrizes são iguais se todas as entradas correspondentes são iguais, ou seja,

$A=B~\leftrightarrow~a_{ij}=b_{ij}~para~todo~i,j$

Logo:

$A=\left[\begin{array}{cc}y+4&2\\9&x^{2}+4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}12&2\\9&53\end{array}\right]=B$

Implica que

$y+4=12~~~\therefore~~~y=12-4~~~\therefore~~~\boxed{\boxed{y=8}}\\\\x^{2}+4=53~~~\therefore~~~x^{2}=53-4=49~~~\therefore~~~\boxed{\boxed{x=\pm\sqrt{49}=\pm7}}$
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2)

Se B é a inversa de A, então AB = BA = Identidade

Verificando se isso ocorre:

$A\cdot B=\left[\begin{array}{ccc}-1&-1&~~0\\~~0&-1&-1\\~~1&-1&-3\end{array}\right]\cdot\left[\begin{array}{ccc}-2&~~3&-1\\~~1&-3&~~1\\-1&~~2&-1\end{array}\right]\\\\\\A\cdot B=\left[\begin{array}{ccc}(2-1+0)&(-3+3+0)&(1-1+0)\\(0-1+1)&(0+3-2)&(0-1+1)\\(-2-1+3)&(3+3-6)&(-1-1+3)\end{array}\right]\\\\\\A\cdot B=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]$

Como o produto entre as matrizes é a matriz identidade, temos que B é a inversa de A (e A é a inversa de B)
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3)

Se B é a inversa de A, então AB = I

$A\cdot B=I_{2}\\\\\\\left[\begin{array}{cc}9&5\\7&4\end{array}\right]\cdot\left[\begin{array}{cc}4&n\\m&9\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]\\\\\\\left[\begin{array}{cc}(9\cdot4+5\cdot m)&(9\cdot n+5\cdot9)\\(7\cdot4+4\cdot m)&(7\cdot n+4\cdot9)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]\\\\\\\left[\begin{array}{cc}5m+36&9n+45\\4m+28&7n+36\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

Como as matrizes são iguais, então as entradas correspondentes devem ser iguais:

$5m+36=1\\9n+45=0\\4m+28=0\\7n+36=1$

Logo, temos 4 equações para resolver, e devemos encontrar a mesma solução para equações de mesma variável

$5m+36=1~~\therefore~~5m=-35~~\therefore~~\boxed{\boxed{m=-7}}\\4m+28=0~~\therefore~~4m=-28~~\therefore~~\boxed{\boxed{m=-7}}$

Como encontramos valores iguais para m, vamos prosseguir para n:

$9n+45=0~~\therefore~~9n=-45~~\therefore~~\boxed{\boxed{n=-5}}\\7n+36=1~~\therefore~~7n=-35~~\therefore~~\boxed{\boxed{n=-5}}$

Portanto, os valores de m e n que fazem com que B seja a inversa de A (e A seja a inversa de B) são, respectivamente, -7 e -5