Question

PERGUNTA 2 Assinale a alternativa que representa a derivada da função: f(x) = esen2 (3x)​

Answer 1

✅ A derivada da função $\rm f(x) = e^{\sin^2(3x) }$ é $\rm$$\rm f'(x) = 3e^{\sin^2(3x)} \cdot \sin(6x)$.

 

❏ A derivada de uma função composta $\rm f \circ g$ obedece a regra de derivação chamada regra da cadeia

$\Large \underline{\boxed{\boxed{\rm F'(x) = f'\left( g(x) \right ) \cdot g'(x)}}}$

 

❏ Ou na notação de Leibniz, desenvolvedor da regra

$\Large \underline{\boxed{\boxed{\rm \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}}}}$

 

❏ O que exatamente essa definição me diz?

Imagine a função $\rm \sin(x^2)$. A resposta mais natural para sua derivada seria a função $\rm \cos(x^2)$, está correto? Está errado. Se você calcular $\rm f'(0) = \cos(x^2)$ você achará $\rm\cos(0) = 1$, entretanto a representação gráfica da função que $\rm \forall x = 0 \Rightarrow \sin(x^2)' = 0$, porque na verdade você não pode parar ao derivar o $\rm \sin$, você deve multiplicar pela derivada de $\rm x^2$ que é $\rm x^{2}\, ' = 2x$ ficando então $\rm \sin(x^2)' = \cos(x^2) \cdot 2x$, aí você pode perceber o que está lá no gráfico da derivada $\rm \forall  x = 0 \Rightarrow \cos(x^2) \cdot 2x = 0$.

 

❏ Retomando. A regra da cadeia nos permite utilizar da substituição de variáveis, isso vai nos ajudar a não bagunçar nossos cálculos, sendo assim vamos definir algumas variáveis

$\large\begin{array}{lr}\rm f(x) = e^{\sin^2(3x)}\\\\\rm u \equiv \sin^2(w) \equiv \sin(w)^{2} \\\\\rm w \equiv 3x \\\\ \rm \therefore \, f(x)= e^u\end{array}$

 

❏ Derivando $\rm f$

$\large\begin{array}{lr}\rm f(x)= e^u \\\\\underline{\boxed{\rm \therefore\:f'(x) = e^{u}}} \end{array}$

 

❏ Derivando $\rm w$

$\large\begin{array}{lr}\rm w = 3x \\\\\underline{\boxed{\rm \therefore\:w' = 3}} \end{array}$

 

❏ Derivando $\rm u$. Veja que aqui usamos regra da cadeia também.

$\large\begin{array}{lr}\rm u = \sin(w)^{2} \\\\\underline{\boxed{\rm \therefore\:u' = 2 \sin(w)\cdot\cos(w) \cdot w'}} \end{array}$

 

❏ Veja que derivamos tudo, agora vamos juntar

$\large\begin{array}{lr}\rm f(x)= e^u\cdot2\sin(w)\cdot\cos(w)\cdot w' \end{array}$

 

❏ Podemos desfazer a mudança de variáveis

$\large\begin{array}{lr}\rm f'(x)= e^{\sin^2(3x)} \cdot 2\sin(3x)\cdot\cos(3x)\cdot 3\end{array}$

 

❏ A derivada anterior já seria sua resposta, contudo melhorando a expressão por trigonometria

$\large\begin{array}{lr}\red{\underline{\boxed{\rm \therefore\:f'(x) = 3e^{\sin^2(3x)} \cdot \sin(6x)}}} \end{array}$

 

❏ Seção de links para complementar o estudo sobre cálculo, derivadas, regra da cadeia:

• https://brainly.com.br/tarefa/47019873

$\rule{7cm}{0.01mm}\\\texttt{Bons estudos! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}$