Question

Pense em um número de dois algarismos diferentes. Inverta a
ordem dos algarismos desse número (por exemplo, se o primeiro for 52, o segundo será 25).
Subtraia o número menor do maior.
a) Qual é a soma dos algarismos da diferença obtida?
Explique por que ela é sempre a mesma.

Answer 1

Resposta:

A soma dos algarismos do número obtido é 9 (nove), pois ao subtrair um número pelo escrito na ordem inversa, o resultado é sempre um múltiplo de 9 (que deve ser maior que zero e menor que 18).

Explicação passo a passo:

Seja n um número natural de dois algarismos distintos a e b, onde

    a é o algarismo das dezenas;

    b é o algarismo das unidades.

Como o nosso sistema de numeração é decimal (base 10), podemos escrever

    n = 10a + b     (i)

Invertendo a ordem dos algarismos de n, obtemos um novo número m:

    m = 10b + a     (ii)

Sem perda de generalidade, suponhamos a > b (a verificação para o caso em que b < a é análoga). Isto significa que o algarismo das dezenas de n é maior que algarismo das dezenas de m. Logo,

    n > m

Subtraindo o menor número do maior, obtemos

    n − m

    = (10a + b) − (10b + a)

    = 10a + b − 10b − a

Agrupando os termos semelhantes e reduzindo:

    = 10a − a − 10b + b

    = 9a − 9b

    = 9 · (a − b)     (iii)

Conforme verificado acima, independente dos valores dos algarismos a e b, o resultado final sempre será nove vezes a diferença entre o algarismo das dezenas e o algarismo das unidades de n.

Como a e b são algarismos distintos, a diferença entre eles nunca é zero. Logo n − m é um múltiplo de 9, maior que zero e formado por no máximo dois algarismos.

Pelo critério de divisibilidade por 9, a soma dos algarismos de qualquer múltiplo de 9 deve ser também múltiplo de 9.

Como a diferença tem no máximo dois algarismos, então a soma dos dois algarismos de n − m deve ser menor que 18 = 9 + 9.

Mas o único múltiplo de 9 maior que zero e menor que 18 é o próprio 9. Por isso, 9 (nove) sempre é a soma dos algarismos do resultado.

Bons estudos!