Matemática, perguntado por aninhaaa2006, 7 meses atrás

Pedro fez uma prova de Ciências que era constituída de 5 questões de múltipla escolha, com 5 alternativas cada uma, das quais apenas uma era correta. Determine a probabilidade de Pedro acertar somente uma questão nesta prova.

a) 12/125
b) 64/625
c) 1/5
d) 256/625
e) 64/125

Soluções para a tarefa

Respondido por ComandoAlfa

⇒ Aplicando nossos conhecimentos sobre Probabilidade e Distribuição, concluímos que a probabilidade de Pedro acertar somente uma questão nesta prova é de 256/625 .

Distribuição Binomial de Probabilidade

☛ Seja $X$ a variável aleatória que denota o número de sucessos em $n$ tentativas de Bernoulli. Sejam $p$ e $q$ , respectivamente, as probabilidades constantes de sucesso e fracasso em cada tentativa. Assim, em $n$ tentativas independentes de Bernoulli, a probabilidade de se ter $x$ sucessos e $n-x$ fracassos é dada por

$\boxed{P(X=x)=\displaystyle \binom{n}{x} p^{x} q^{n-x}}$

➜ Na sua questão, seja $p$ a probabilidade de Pedro acertar uma questão. Como ele tem uma chance em cinco de acertar, temos $p=1/5$ . E, portanto, a probabilidade de Pedro errar é $q=1-p=4/5$ .

Logo, a probabilidade de Pedro acertar somente uma questão, i.e, $x=1$ , nessa prova de 5 questões $(n=5)$ é:

$\begin{array}{l}\displaystyle P( X=1) =\binom{5}{1} \cdotp \left(\frac{1}{5}\right)^{1} \cdotp \left(\frac{4}{5}\right)^{5-1}\\\\\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{5\cdotp 4^{4}}{5\cdotp 5^{4}}\\\\\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\boxed{\frac{256}{625}}\end{array}$