Question

peço ajuda neste exercicio:
(5x+4y)dx+(4x-8y^3)dy​

Answer 1

• O que é uma equação diferencial?

Uma equação diferencial é uma equação matemática que relaciona uma função com suas derivadas. Se a função desconhecida depende de apenas uma variável, a equação é chamada de equação diferencial ordinária.

O que vamos trabalhar no exercício é uma equação diferencial exata, isto é:

$\sf(5x+4y)dx+(4x-8y^3)dy = 0$

As etapas para saber se a equação diferencial é exata são as seguintes:

$\sf M(x,y)dx+N(x,y)dy = 0$

Ou seja, devemos estabelecer essa forma, onde "M" e "N" são apenas variáveis, agora se tentarmos fazer este pequeno passo obteremos que cada variável é igual a:

$\tt (I)\sf M(x,y)= 5x+4y\\ \tt (II) \sf N(x,y)=4x-8y^3$

O próximo passo será verificar se a equação diferencial é exata para isso usaremos as derivadas parciais e a seguinte igualdade:

$\qquad \qquad \sf \dfrac{\partial M}{\partial y}=\sf \dfrac{\partial N}{\partial x}$

• Aplicamos a etapa, extraímos as derivadas parciais de cada coeficiente:

$\tt (I)\sf \dfrac{\partial M}{\partial y} 5x+4y= 4\\ \tt (II) \sf \dfrac{\partial N}{\partial x}4x-8y^3 = 4$

Como suas derivadas parciais são iguais, concluímos que é uma equação diferencial exata, então agora aplicamos o seguinte passo:

$\sf f(x,y) =M(x,y)dx+g(y)$

Lembre-se de que g(y) será a última etapa para resolver a equação diferencial exata, substituímos a única variável que conhecemos:

$\sf f(x,y) =\int (5x+4y)+g(y)$

• Tentamos resolver o integral separadamente:

$\sf \int (5x+4y)= \int \dfrac{5x^{1+1}}{1+1} +\int 4y dx$

$\sf \int (5x+4y)= \dfrac{5x^{2}}{2} +4xy$

• Verifica-se que:

$\sf f(x,y) =\dfrac{5x^2}{2} +4xy+g(y)$

Agora, para calcular g(y), a seguinte fórmula é usada ou não tenho ideia de como será chamada:

$\qquad \qquad \sf \dfrac{\partial f}{\partial y}=N(x,y)$

Mas se você quiser calcular g(y), a expressão é usada:

$\qquad \qquad \sf g(y)=\int g'(y) dy$

Se calcularmos esta derivada parcial, será obtido que g'(y) é igual a:

$\qquad \qquad \sf \dfrac{\partial f}{\partial y}4x-8y^3$

$\qquad \qquad \sf g'(y)=-8y^3$

Como apenas g'(y) é uma derivada de g(y), usaremos a operação oposta da derivada e é a integral:

$\sf g(y)=\int -8y^3=-\dfrac{8y^{3+1}}{3+1} = -\dfrac{8y^4}{4}$

$\sf g(y) =-2y^4$

• Já encontrado o valor de g(y) é possível substituir na expressão:

$\sf f(x,y) =\dfrac{5x^2}{2} +4xy-2y^4$

Onde f(x,y) pode ser igual à constante de integração "C"

$\sf C =\dfrac{5x^2}{2} +4xy-2y^4\checkmark$

Se quiser ver mais veja o Link do seguinte problema:

Determine a solução da equação diferencial exata (2x + 3y)dy + (3x + 2y)dx = 0. https://brainly.com.br/tarefa/19625978

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