Question

Paulo irá dividir um valor igualmente entre determinado número de pessoas. Se aumentarmos em 6 o número de pessoas, cada um receberá 3 reais a menos. Se diminuirmos em 2 o número de pessoas, cada um receberá 2 reais a mais. Quantas são as pessoas e qual a quantia que Paulo irá distribuir?

Answer 1

Chamarei o valor que Paulo irá distribuir de V, a quantidade de pessoas de P e o valor recebido por cada pessoa de v. Assim, temos:
 V                          
⁻⁻⁻ = v  ------>  V = P.v
 P                          

Se aumentarmos em 6 o número de pessoas, cada um receberá 3 reais a menos. Logo:
    V                                            
⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻ = (v - 3)  -----> V = (P + 6)(v - 3)
(P + 6)                                      

Se diminuirmos em 2 o número de pessoas, cada um receberá 2 reais a mais. Logo:
   V   
⁻⁻⁻⁻⁻⁻ = (v + 2) ------> V = (P - 2)(v + 2)
(P - 2)

I)    V = P.v
II)   V = (P + 6)(v - 3)
III)  V = (P - 2)(v + 2)

Substituindo I em II e em III, temos:
II)                                                III)
Pv = (P + 6)(v - 3)                       Pv = (P - 2)(v + 2)
Pv = Pv - 3P + 6v - 18                Pv = Pv + 2P - 2v - 4
Pv - Pv + 3P - 6v = -18               Pv - Pv - 2P + 2v = -4
3P - 6v = -18                              -2P + 2v = -4
3(P - 2v) = -18                            2(-P + v) = -4 
   P - 2v = -18                                -P + v = -4
                ⁻⁻⁻⁻                                             ⁻⁻⁻
                   3                                                2
   P - 2v = -6                                  -P + v = -2

Formamos um sistema de equações do 1º grau.
  { P - 2v = -6
+{-P + v = -2
⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻
         - v = -8
           v = 8

Substituindo v em qualquer equação, encontramos P.
P - 2v = -6
P - 2(8) = -6
P - 16 = -6
P = -6 + 16
P = 10

Para calcular V, basta substituir na equação I os valores de v e P.
V = P.v
V = 10.8
V = 80

São 10 pessoas e Paulo irá distribuir R$ 80,00.