Question

passo-a-passo de equações logaritmicas
calcule x
log ^ (2x-1)= 4
3

log ( x-7) + log (x-1) = 2
3 3

log (x-3) + log (2x - 9)= log 8
3 3 3

Answer 1

Propriedades usadas:

$log_{b}(a)=c <=> b^{c}=a$
$log_{b}(x)+log_{b}(y)<=>log_{b}(x*y)$
$log_{b}(x)=log_{b}(y)<=>x=y$
____________________

$log_{3}(2x-1)=4$
$3^{4}=2x-1$
$2x-1=81$
$2x=81+1$
$2x=82$
$x=82/2$

$\boxed{\boxed{x=41}}$
____________________

$log_{3}(x-7)+log_{3}(x-1)=2$
$log_{3}[(x-7)*(x-1)]=2$
$log_{3}(x^{2}-x-7x+7)=2$
$log_{3}(x^{2}-8x+7)=2$
$3^{2}=x^{2}-8x+7$
$x^{2}-8x+7=9$
$x^{2}-8x+7-9=0$
$x^{2}-8x-2=0$

$\Delta=b^{2}-4*a*c$
$\Delta=(-8)^{2}-4*1*(-2)$
$\Delta=64+8$
$\Delta=72$
$\sqrt{\Delta}= \sqrt{72}$
$\sqrt{\Delta}=\sqrt{36*2} \\ \sqrt{\Delta}=\sqrt{36}*\sqrt{2}$
$\sqrt{\Delta}=6*\sqrt{2}\\ \sqrt{\Delta}=6\sqrt{2}$

$x=(-b\pm\sqrt{\Delta})/2a$
$x=(-[-8]\pm6\sqrt{2})/(2*1)$
$x=(8\pm6\sqrt{2})/2$
$x=2*(4\pm3\sqrt{2})/2$
$x=4\pm3\sqrt{2}$

$x'=4+3\sqrt{2}$
$x''=4-3\sqrt{2}$

Não podemos considerar x'', pois ele faria com que os logaritmandos ficassem negativos, e isso é contra às condições de existência dos logaritmos

$\boxed{\boxed{x=4+3\sqrt{2}}}$
____________________

$log_{3}(x-3)+log_{3}(2x-9)=log_{3}(8)$
$log_{3}[(x-3)*(2x-9)]=log_{3}(8)$
$log_{3}(2x^{2}-9x-6x+27)=log_{3}(8)$
$log_{3}(2x^{2}-15x+27)=log_{3}(8)$
$2x^{2}-15x+27=8$
$2x^{2}-15x+27-8=0$
$2x^{2}-15x+19=0$

$\Delta=(-15)^{2}-4*2*19 \\ \Delta=225-152 \\ \Delta=73$

$x=(-[-15]\pm\sqrt{73})/(2*2)$
$x=(15\pm\sqrt{73})/4$

$x'=(15+\sqrt{73})/4$
$x''=(15-\sqrt{73})/4$

O x'' deixaria o primeiro logaritmando negativo, logo descarte-o

$\boxed{\boxed{x=(15+\sqrt{73})/4}}$