Question

Partindo da fórmula do arco triplo calcule cos 180 graus

Answer 1

Resposta:

Os arcos duplos são relações trigonométricas utilizadas para calcular seno, cosseno e tangente de arcos que foram multiplicados por 2. Exemplos onde essas fórmulas podem ser usadas: sen2·30°, cos2·45° e tg2·15°. Observe que:

sen30° = 1

2

e que:

sen2·30° = sen60° ≠ 1·1

2 2

As técnicas utilizadas para o cálculo de razões trigonométricas envolvendo arcos duplos são baseadas nas fórmulas de adição de arcos.

Leia também: O que são razões trigonométricas

Seno

Quando é necessário descobrir o seno da adição de dois arcos “a” e “b”, usamos a seguinte fórmula:

sen(a + b) = sena·cosb + senb·cosa

Para encontrar uma fórmula para o seno de um arco duplo, basta fazer a = b. Assim, substituindo “b” por “a” na fórmula acima teremos:

sen(a + a) = sena·cosa + sena·cosa

sen(2a) = 2·sena·cosa

Essa é a relação usada para determinar o seno de um arco duplo.

Por exemplo: qual o valor de sen120°?

Sen120° = sen2·60° = 2·sen60°·cos60°

Sen120° = 2·√3·1

2 2

Sen120° = √3

2

Cosseno

Quando é necessário calcular o cosseno da soma entre os arcos “a” e “b”, usamos a seguinte fórmula:

cos(a + b) = cosa·cosb – sena·senb

Com o intuito de encontrar uma fórmula para o cosseno de um arco duplo, basta fazer b = a e substituir, por exemplo, “b” por “a” na fórmula acima:

cos(a + a) = cosa·cosa – sena·sena

cos(2a) = cos2a – sen2a

Ainda existem outras duas formas de apresentar essa fórmula. Para encontrá-las, lembre-se que:

sen2a + cos2a = 1

sen2a = 1 – cos2a

Substituindo esse resultado na fórmula do cosseno de um arco duplo, teremos:

cos(2a) = cos2a – sen2a

cos(2a) = cos2a – (1 – cos2a)

cos(2a) = cos2a – 1 + cos2a

cos(2a) = 2cos2a – 1

Essa é a segunda fórmula que pode ser usada para calcular o cosseno do arco duplo. A terceira pode ser obtida fazendo o seguinte:

sen2a + cos2a = 1

cos2a = 1 – sen2a

Substituindo esse resultado na primeira fórmula obtida para o cosseno de um arco duplo, teremos:

cos(2a) = cos2a – sen2a

cos(2a) = 1 – sen2a – sen2a

cos(2a) = 1 – 2sen2a

Tangente

A fórmula usada para encontrar a tangente da soma entre os arcos “a” e “b” é:

tg(a + b) = tga + tgb

1 – tga·tgb

Visando determinar a fórmula utilizada para encontrar a tangente de um arco duplo, também faremos a = b e substituiremos “b” por “a” na fórmula acima:

tg(a + b) = tga + tgb

1 – tga·tgb

tg(a + a) = tga + tga

1 – tga·tga

tg(2a) = 2tga

1 – tg2a