Question

Para x > 0, determine a solução do problema de valor inicial x^2 y ’ + xy = 1,
Com y(1) = 2.
Apresente a solução passo a passo:

Answer 1

$edo\; \to \boxed{\boxed{y'+p(x)y=q(x)}}\\\\ \text{fator integrante }\;\to \boxed{\boxed{ I= e^{\int p(x) dx }}}$

temos:
$x^2 y ' + xy = 1\\\\\boxed{ y'+ \frac{y}{x} = \frac{1}{x^2} } \\\\ \text{o fator integrante sera} \\\\\boxed{\boxed{ I =e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{ln(x)} = x}}$

multiplica a edo pelo fator integrante

$x*(y'+ \frac{y}{x} )= x*(\frac{1}{x^2} ) \\\\ xy' +y = \frac{1}{x} \\\\ \text{veja regra do produto no lado esquerdo da equacao} \\\\ (xy)'= x'y + y'x = y+y'x\\\\ \text{reescrevendo} \\\\ (xy)'= \frac{1}{x} \\\\ \int (xy)'= \int\frac{1}{x} \\\\ xy =ln(x)+C\\\\\boxed{\boxed{y(x)= \frac{ln(x)+C}{x} }}\\\\\\\ y(1)=2\\\\ y(1)= \frac{ln(1)+C}{1} =2 \to C=2 \\\\\\ \boxed{\boxed{y(x)= \frac{ln(x)+2}{x} }}$