Question

Para todo x E 1° quadrante a expressão (sec x - tg x). (sec x + tg x) - sen²x é igual a:


a) cos²

b) 1 + sen²x

c) cos x - sen x

d) sec x + cos x

e) 1

Answer 1

Começamos por simplificar a expressão utilizando o caso notável da diferença de quadrados, ou seja, utilizando $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, com $a = \sec x$ e $b = \tan x$:

$\underbrace{(\sec x - \tan x)(\sec x + \tan x)}_{\displaystyle =\sec^2 x - \tan^2 x} - \sin^2 x = \sec^2 x - \tan^2 x - \sin^2 x.$

Vamos agora dividir a fórmula fundamental da trigonometria por $\cos^2 x \neq 0$:

$\cos^2 x + \sin^2 x = 1 \iff \dfrac{\cos^2 x}{\cos^2 x} + \dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \dfrac{1}{\cos^2 x}\iff 1 + \tan^2 x = \sec^2 x,$

onde se utilizou $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ e $\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$.

Substituindo na expressão anterior, temos:

$\sec^2 x - \tan^2 x - \sin^2 x = 1 + \tan^2 x - \tan^2 x - \sin^2 x = 1 - \sin^2 x.$

Considerando de novo a fórmula fundamental da trigonometria, podemos escrever:

$\cos^2 x + \sin^2 x = 1 \iff 1 - \sin^2 x = \cos^2 x.$

Assim, obtemos o resultado final:

$\boxed{(\sec x - \tan x)(\sec x + \tan x) - \sin^2 x = \cos^2 x}.$

Resposta: $\textrm{a)} \quad \cos^2 x.$

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

(sec x - tg x). (sec x + tg x) - sen²x =

= sec²x + secx tgx - secx tgx - tg²x - sen²x =

= 1 + tg²x - tg²x - sen²x = 1 - sen²x

 = 1 - sen²x = 1 - (1 - cos²x) = 1 - 1 + cos²x = cos²x

Resp.

Letra A