Question

Para testar os danos causados por colisões de aviões com pássaros, um engenheiro projeta uma arma de teste que acelera objetos do tamanho de uma galinha de modo que o descolamento do projétil ao longo do eixo do cano da arma é dado por x: (9,0x10^3)t^2 - (8,0x10^4)t^3. O objeto deixa a extremidade do cano em t=0,025 s. (a) Qual o comprimento da arma? (b) Qual a velocidade do objeto quando ele deixa a extremidade do cano da arma? (c) Qual a força resultante de um objeto de massa de 1,5 kg para t=0 s e t = 0,025?

Answer 1

Olá, primeiramente vamos substituir t= 0,025 s na função de espaço fornecida.

x(0,025)= (9.10³)(0,025)² - (8.10^4)(0,025)³
x= 4,35 m 
   
esse é o comprimento do cano.


Agora vamos derivar essa função para obter a função de velocidade 
 
dx/dt= v(t) = 2 . (9.10³).t - 3(8.10^4)t²

v = 1,8.10^4 - 2,4. 10^5

Temos a derivada da posição em função do tempo(velocidade).
Agora é só pegar aqueles 0,025 s que o projetil leva para sair do cano e substituir na formula, que vamos obter a sua velocidade nesse instante.

v(0,025) = (1,8.10^4)(0,025) - (2,4.10^5)(0,025)²

v(0,025) = 450 - 150
v = 300 m/s


Depois de tudo isso temos que derivar a função novamente para poder ter a aceleração instantânea em mãos para podermos calcular as forças nos instantes pedidos.  

dv/dt= a(t)  = 1,8.10^4 - (4,8 . 10^5)t

t= 0 
a(0) = 1,8. 10^4 m/s²

t = 0,025

a(0,025) = 1,8.10^4 - (4,8. 10^5) (0,025)
a(0,025) = 18000 - 12000
a(0,025) = 6.10³ m/s²

Vamos finalmente as forças....
m= 1,5 kg

t= 0 s

F = 1,5 . 1,8. 10^4

F = 27.10³ N

t = 0,025 s

F = 1,5. 6.10³

F= 9.10³ N


Espero ter ajudado. Abraço.