Question

Determinar o valor do polinômio interpolador de Lagrange para x = 1,8, de grau 3, a partir dos seguintes pontos da tabela a seguir

I Xi Yi

0 1,7 1,8417

1 1,9 1,8963

2 2,1 1,9132

4 2,3 1,8957

Answer 1

O polinômio de Lagrange de grau 3 será da forma:

$p_3(x)=y_0.l_0(x)+y_1.l_1(x)+y_2.l_2(x)+y_3.l_3(x)$
$p_3(x)=1,8417l_0(x)+1,8963l_1(x)+1,9132l_2(x)+1,8957l_3(x)$

Vamos calcular l₀(x), l₁(x), l₂(x) e l₃(x):

$l_0(x)= \frac{x-x_1}{x_0-x_1}. \frac{x-x_2}{x_0-x_2}. \frac{x-x_3}{x_0-x_3}$
$l_0(x)= \frac{x-1,9}{1,7-1,9}. \frac{x-2,1}{1,7-2,1}. \frac{x-2,3}{1,7-2,3}$
$l_0(x)=-20,8333x^3+131,25x^2-274,792x+191,188$

$l_1(x)= \frac{x-x_0}{x_1-x_0}. \frac{x-x_2}{x_1-x_2} . \frac{x-x_3}{x_1-x_3}$
$l_1(x)= \frac{x-1,7}{1,9-1,7}. \frac{x-2,1}{1,9-2,1} . \frac{x-2,3}{1,9-2,3}$
$l_1(x)=62,5x^3-381,25x^2+769,375x-513,187$

$l_2(x)= \frac{x-x_0}{x_2-x_0}. \frac{x-x_1}{x_2-x_1} . \frac{x-x_3}{x_2-x_3}$
$l_2(x)= \frac{x-1,7}{2,1-1,7} . \frac{x-1,9}{2,1-1,9} . \frac{x-2,3}{2,1-2,3}$
$l_2(x)=-62,5x^3+368,75x^2-719,375x+464,313$

$l_3(x)= \frac{x-x_0}{x_3-x_0} . \frac{x-x_1}{x_3-x_1} . \frac{x-x_2}{x_3-x_2}$
$l_3(x)= \frac{x-1,7}{2,3-1,7} . \frac{x-1,9}{2,3-1,9} . \frac{x-2,1}{2,3-2,1}$
$l_3(x)=20,8333x^3-118,75x^2+224,792x-141,313$

Portanto,

$p_3(x)= 0,06875x^3-0,863125x^2+2,71131x-0,610869$

Assim, 

$p_3(1,8) = 1,873914$

Answer 2

Resposta correta é 1,8714