Question

Para se exercitar, um indivíduo caminha indo e vindo em linha reta, invertendo o sentido da caminhada e a distância percorrida. A cada mudança de sentido, a nova etapa é 50% mais longa que a etapa anterior. Para caminhar exatamente 10000 metros e iniciando sua caminhada com 1000 metros antes de mudar o sentido pela primeira vez, esse indivíduo precisará mudar de sentido um número total de vezes igual a

(A) 7.

(B) 6.

(C) 5.

(D) 4.

(E) 3.

Answer 1

Resposta:

(D) 4.

Explicação passo a passo:

$a_{1} =1000\\\\a_{n} =150\ \%\ \times a_{(n-1)} =\frac{150}{100} \times a_{(n-1)} =\frac{3}{2} \times a_{(n-1)} =\frac{3\times a_{(n-1)} }{2} \\\\\\\\a_{2} =\frac{3\times a_{(2-1)} }{2}\\\\a_{2} =\frac{3\times a_{1} }{2}\\\\a_{2} =\frac{3\times 1000 }{2}\\\\a_{2} =\frac{3000 }{2}\\\\a_{2} =1500$

$q=\frac{a_{2} }{a_{1} } =\frac{1500}{1000} =\frac{1500:500}{1000:500} =\frac{3}{2}$

$S_{n} =10000$

$n=?$

$_{----------------------------------------------------}$

$\frac{a_{1} \times (q^{n}-1 )}{q-1} = S_{n} \\\\\frac{1000 \times ((\frac{3}{2} )^{n}-1 )}{\frac{3}{2} -1} = 10000 \\\\\frac{1000 \times ((\frac{3}{2} )^{n}-1 )}{\frac{3}{2} -\frac{2}{2} } = 10000 \\\\\frac{1000 \times ((\frac{3}{2} )^{n}-1 )}{\frac{3-2}{2}} = 10000 \\\\\frac{1000 \times ((\frac{3}{2} )^{n}-1 )}{\frac{1}{2}} = 10000 \\\\1000 \times ((\frac{3}{2} )^{n}-1 )=10000\times \frac{1}{2} \\\\1000 \times ((\frac{3}{2} )^{n}-1 )=\frac{10000}{2}$

$1000 \times ((\frac{3}{2} )^{n}-1 )=5000\\\\(\frac{3}{2} )^{n}-1=\frac{5000}{1000} \\\\(\frac{3}{2} )^{n}-1=5\\\\(\frac{3}{2} )^{n}=5+1\\\\(\frac{3}{2} )^{n}=6$

Para não precisar entrar nos logaritmos naturais para resolver, e como a pessoa não vai mudar o sentido um número diferente de um número inteiro, então vamos por aproximação (de preferência para menos):

Para n = 5:

$(\frac{3}{2} )^{5} < 6\\\\\frac{3^{5} }{2^{5} } < 6\\\\\frac{243}{32} < 6 \\\\\frac{(224+19)}{32} < 6\\\\\frac{224}{32} +\frac{19}{32} < 6\\\\7+\frac{19}{32} < 6$  ← Falso.

Para n = 4:

$(\frac{3}{2} )^{4} < 6\\\\\frac{3^{4} }{2^{4} } < 6\\\\\frac{81}{16} < 6\\\\\frac{(80+1)}{16} < 6\\\\\frac{80}{16} +\frac{1}{16} < 6\\\\5+\frac{1}{16} < 6$  ← Verdadeiro.

$_{----------------------------------------------------}$

Prova Real:

Depois de caminhar 1000 metros, ele mudou o sentido pela 1ª vez.

10000 - 1000 = 9000.

Andou mais 1500 metros e mudou o sentido pela 2ª vez.

9000 - (3.1000)/2 = 9000 - 3000/2 = 9000 - 1500 = 7500.

Andou mais 2250 metros e mudou o sentido pela 3ª vez.

7500 - (3.1500)/2 = 7500 - 4500/2 = 7500 - 2250 = 5250.

Andou mais 3375 metros e mudou o sentido pela 4ª vez.

5250 - (3.2250)/2 = 5250 - 6750/2 = 5250 - 3375 = 1875.

Andou mais 1875 metros e completou exatamente os 10000 metros.

Para mudar o sentido uma 5ª vez, ele teria que percorrer 5062,5 metros após a 4ª vez, 3.187,5 metros a mais que os 10000 metros totais percorridos.

1875 - (3.3375)/2 = 1875 - 10125/2 = 1875 - 5062,5 = -3.187,5.

Resposta: (D) 4.