Question

Para resolver divisões com números complexos que possuem a parte imaginária, utilizamos o mesmo artifício realizado em divisões com números irracionais. Multiplicando toda a divisão por um certo número faz com que o denominador deixe de ser irracional. No contexto dos complexos, a multiplicação de ambos os números ocorre pelo que chamamos de conjugado. Sendo assim, qual será o denominador que aparecerá (quando representado em fração) da divisão dos números complexos z = 2 - 2i por t = 1 + 2i?

Answer 1

Resposta: 5

Explicação passo-a-passo:

Tendo um número imaginário qualquer z = x + yi; o seu conjugado será = x - yi. O que o enunciado explicou é que, se nós temos, por exemplo:

$\frac{2}{\sqrt{2} }$

raiz de 2 é um número irracional, portanto, nós racionalizamos multiplicando este número por uma fração em que o numerador e o denominador são ele mesmo:

$\frac{2}{\sqrt{2}} * \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

isso é possível pois quando uma fração tem um número igual no numerador e no denominador, isso é a mesma coisa que 1 ;)

Agora, se o denominador fosse desse jeito:

$\frac{2}{\sqrt{2} + 1}$

Então seria necessário multiplicar por uma fração em que o numerador e o denominador são o conjugado deste número irracional. Falando dos números complexos, temos:

z = x + yi

certo? O conjugado deste número seria x - yi. A parte imaginária troca o sinal. Mesma coisa com a divisão por um irracional:

$\frac{2}{\sqrt{2}+1} * \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = \frac{2\sqrt{2}-2}{2-\sqrt{2}+\sqrt{2}-1} = \frac{2\sqrt{2}-2}{1} = 2\sqrt{2} -2$

Agora, explicado esse conteúdo, vamos aplicar no exercício em questão:

$\frac{2-2i}{1+2i}$

Vamos multiplicar esta fração por outra fração em que o numerador e o denominador sejam o conjugado do denominador da divisão:

$\frac{2-2i}{1+2i} * \frac{1-2i}{1-2i} = \frac{2-4i-2i+4i^2}{1-2i+2i-4i^2} = \frac{2-2i+4i^2}{1-4i^2}$

Agora, sabemos que i² = -1, portanto:

$\frac{2-2i+4*(-1)}{1-4*(-1)} = \frac{2 - 2i - 4}{1 + 4} = \frac{-2 -2i}{5}$

Olha só como ficou o final da expressão! O denominador é 5.