Question

Para quem é craque em trigonometria. Por favor inclua os cálculos para que eu possa aprender
Se cos( x)=−1/3 , faça o que se pede em cada item.
a)Calcule tan (x) , se supomos que 5pi/2 ≤ x≤3pi .
b)Calcule csc (2x) , se supomos que é um ângulo do 3º. Quadrante

Answer 1

$\cos x=-\dfrac{1}{3}$


a) Utilizando a seguinte identidade, temos

$\mathrm{sec^{2}\,}x=1+\mathrm{tg^{2}\,}x\\ \\ \mathrm{tg^{2}\,}x=\mathrm{sec^{2}\,}x-1\\ \\ \mathrm{tg^{2}\,}x=\left(\dfrac{1}{\cos x} \right )^{2}-1\\ \\ \mathrm{tg^{2}\,}x=\left(\dfrac{1}{^{-1}\!\!\diagup\!\!\!_{3}} \right )^{2}-1\\ \\ \mathrm{tg^{2}\,}x=\left(-3 \right )^{2}-1\\ \\ \mathrm{tg^{2}\,}x=9-1\\ \\ \mathrm{tg^{2}\,}x=8\\ \\ \mathrm{tg\,}x=\pm \sqrt{8}\\ \\ \mathrm{tg\,}x=\pm \sqrt{2^{2}\cdot 2}\\ \\ \mathrm{tg\,}x=\pm \sqrt{2^{2}}\cdot \sqrt{2}\\ \\ \mathrm{tg\,}x=\pm 2\sqrt{2}$


Temos que 

$\dfrac{5\pi}{2}\leq x \leq 3\pi\\ \\ \dfrac{\pi+4\pi}{2}\leq x \leq \pi+2\pi\\ \\ \dfrac{\pi}{2}+2\pi\leq x \leq \pi+2\pi$

Logo, $x$ é um arco do 2º quadrante, e a sua tangente é negativa. Logo,

$\mathrm{tg\,}x=-2\sqrt{2}$


b) Supondo $x$ do 3º quadrante, temos que a tangente é positiva:

$\mathrm{tg\,}x=2\sqrt{2}$


Calculando o seno de $x$:

$\mathrm{tg\,}x=\dfrac{\mathrm{sen\,}x}{\cos x}\\ \\ \mathrm{sen\,}x=\mathrm{tg\,}x\cdot \cos x\\ \\ \mathrm{sen\,}x=2\sqrt{2}\cdot \left(-\dfrac{1}{3} \right )\\ \\ \mathrm{sen\,}x=-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$


Calculando o seno de $2x$:

$\mathrm{sen\,}2x=2\cdot \mathrm{sen\,}x \cdot \cos x\\ \\ \mathrm{sen\,}2x=2\cdot \left(-\dfrac{2\sqrt{2}}{3} \right ) \cdot \left(-\dfrac{1}{3} \right )\\ \\ \mathrm{sen\,}2x=\dfrac{4\sqrt{2}}{9}$


Finalmente, calculando a cossecante de $2x$:

$\csc 2x=\dfrac{1}{\mathrm{sen\,}2x}\\ \\ \csc 2x=\dfrac{1}{^{4\sqrt{2}}\!\!\diagup\!\!\!_{9}}\\ \\ \csc 2x=\dfrac{9}{4\sqrt{2}}\\ \\ \csc 2x=\dfrac{9\cdot \sqrt{2}}{4\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}\\ \\ \csc 2x=\dfrac{9\sqrt{2}}{4\cdot 2}\\ \\ \csc 2x=\dfrac{9\sqrt{2}}{8}$