Question

Na figura os ângulos assinalados são iguais. Se $AC=3$ e $AB=5$, determine o valor de $AE$.

Answer 1

Olá, Vivi !

A soma dos ângulos internos de um triângulo é $180^{\circ}$.

Assim, no triângulo $CDA$, temos:

$C\hat{D}A+C\hat{A}D+D\hat{C}A=180^{\circ}$

Mas, como $C\hat{D}A=C\hat{A}D=60^{\circ}$, segue que, $D\hat{C}A=60^{\circ}$.

Deste modo, o triângulo $CDA$ é equilátero e obtemos $CD=AD=AC=3$.

Além disso, $B\hat{A}C=B\hat{A}E+60^{\circ}+60^{\circ}=180^{\circ}$, logo, $B\hat{A}E=60^{\circ}$.

Com isso, podemos afirmar que, $CD\parallel AE$ e, os triângulos $CDB$ e $AEB$ são semelhantes.

Logo, $\dfrac{CD}{CB}=\dfrac{AE}{AB}~~\Rightarrow~~\dfrac{3}{3+5}=\dfrac{AE}{5}~~\Rightarrow~~\dfrac{3}{8}=\dfrac{AE}{5}$.

Portanto, $8AE=3\times5=15~~\Rightarrow~~\boxed{AE=\dfrac{15}{8}}$.

Espero ter ajudado, até mais ^^