Question

Para que valores reais de m, a função y = -x² + 2mx + m - 2 possui imagens negativas para qualquer x real?

Answer 1

Vamos lá... Você tem uma função do segundo grau

$f(x) = -x^2 + 2mx + m - 2$

Para que uma função tenha todas as duas imagens negativas, você precisa que:

$\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \ \textless \ 0$

É importante notar que o problema que você passou só requer que pelo menos uma das soluções (imagens) seja negativa.

Vamos começar calculando o delta:

$\Delta = b^2 - 4 \ast a \ast c \Delta = 4m^2 - 4 \ast -1 \ast (m - 2) \Delta = 4m^2 + 4 \ast (m - 2) \Delta = 4m^2 + 4m - 8$

Nosso delta é outra equação do segundo grau.
Vamos substituir o delta na fórmula de Bhaskara:

$\frac{-b \pm \sqrt{4m^2 + 4m - 8}} {2 \ast a}$

Desenvolvendo...

$\frac{-2m \pm \sqrt{4m^2 + 4m - 8} } {-2}$

Você quer que pelo menos uma dessas soluções seja negativa. Então temos que:

$\frac{-2m \pm \sqrt{4m^2 + 4m - 8}} {-2} \ \textless \ 0 -2m \pm \sqrt{4m^2 + 4m - 8} \ \textless \ 0 \pm \sqrt{4m^2 + 4m - 8} \ \textless \ 2m \pm(4m^2 + 4m -8) \ \textless \ 4m^2$

Chegar até aqui já da uma ajuda legal. Agora nós temos um problema com os sinais, vamos ter que desenvolver considerando tanto o sinal positivo quanto o negativo.

Com o positivo, temos:

$+(4m^2 + 4m -8) \ \textless \ 4m^2 4m - 8 \ \textless \ 0 4m \ \textless \ 8 m \ \textless \ 2$

(se ficou bugado ai, o caractére estranho é na verdade um <)
Então nós temos que m < 2.

Agora para o sinal negativo, complica um pouco mais:

$-(4m^2 + 4m -8) \ \textless \ 4m^2 -4m^2 -4m + 8 \ \textless \ 4m^2 -8m^2 -4m + 8 \ \textless \ 0 \Delta = 16 - 4 \ast -8 \ast 8 \Delta = 240$

Agora, por fim, calculando esse m... (vou considerar a raiz de 240 como 16)

$m = \frac{4 \pm \sqrt{240}} {-16}$
$m = \frac{4 \pm 16}{-16}$

Considerando o sinal de adição:
$m = \frac{20}{-16} = -\frac{5}{4}$

Considerando o sinal de subtração:
$m = \frac{-12}{-16} = \frac{3}{4}$

Então, temos que, nessa solução:
$m \in ( -\frac{5}{4}; \frac{3}{4} )$

A minha resposta final pode variar da sua ou do professor por que eu fiz uma aproximação relativamente grossa da raiz de 240 (15,4):

Para que x < 0, é válido que:

$m \in ( -\frac{5}{4}; \frac{3}{4} )$

Ou que:

$m \ \textless \ 2$

Como menos cinco quartos e três quantos são menores que dois, podemos dizer que a solução é:

$m \ \textless \ 2$