Question

Para que valores de x se define o logaritmo Log x-1 (x^2-5x+6)

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se: para que valores de "x" define-se a expressão logarítmica abaixo:

y = log₍ₓ₋₁₎ (x²-5x+6)

Agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento:

i) A base de todo e qualquer logaritmo tem que ser maior do que zero e, além disso, tem que ser também diferente de "1".
Então, para a base (x-1) deveremos ter isto:

x - 1 > 0 ---- passando "-1" para o 2º membro, temos:
x > 1 ------ esta é uma condição de existência
e
x-1 ≠ 1 ----- passando "-1" para o 2º membro, teremos:
x ≠ 1 + 1
x ≠ 2

Assim, quanto à base, deveremos ter que:

x > 1 e x ≠ 2.

ii) Agora vamos para o logaritmando. Como só existe logaritmos de números positivos, então deveremos impor que o logaritmando (x²-5x+6) deverá ser maior do que zero. Assim, deveremos ter que:

x² - 5x + 6 > 0

Agora faremos o seguinte: encontraremos as raízes da equação (x²-5x+6) e, em função delas (das raízes), estudaremos a a variação de sinais da função. Assim, encontrando as raízes, vemos que elas são:
 
x' = 2
x'' = 3

Agora vamos à variação de sinais da inequação dada:

x²-5x+6 > 0 ... +++++++++(2)- - - - - - - - (3)+++++++++

Assim, em relação ao logaritmando temos que:

x < 2 ou x > 3.

iii) Agora vamos ver qual será a intersecção entre o que vale para a base e o que vale para o logaritmando e vamos marcar com o símbolo /////////.
E a intersecção será a resposta, que marcaremos com o símbolo |||||||.
Assim, teremos:

x > 1 e x ≠ 2 ......(1)/ / / / / / / (2)/ / / / / / / / / / / / / / / 
x < 2 ou x > 3.. / / / / / / / / /(2) ___(3)/ / / / / / / / /
Intersecção.....(1) | | | | | | | | (2)____(3)| | | | | | | |

Assim, como você próprio poderá concluir, o intervalo será de validade para a expressão logarítmica dada será este:

1 < x < 2 ou  x > 3 -------- Esta é a resposta.

Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução assim, o que é a mesma coisa:

S = {x ∈ R | 1 < x < 2 ou x > 3}

E também se quiser, poderá apresentar o conjunto solução da seguinte forma, o que significa o mesmo:

S = (1; 2) ∪ (3; +∞) 

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.