Question

Para que valores de r a função quadrática f (x) = x²
+ 2x+ | cos r |
intercepta o eixo x em pontos distintos?

Answer 1

f(x) = 0  

x² + 2x+ |cos r| = 0  

∆ = 2² - 4 ∙ 1 ∙ |cos r|  

∆ = 4 ∙ (1 - |cos r|)  

Sabemos que uma equação do 2º grau tem duas raízes.  

Mas o seu gráfico só interceptará o eixo x em pontos distintos quando ∆ ≠ 0 e ∆ > 0.  

Caso ∆ seja zero, a equação terá duas raízes iguais e interceptará o eixo x num único ponto.  

Caso ∆ seja menor que zero, a equação não terá raízes reais e seu gráfico não interceptará o eixo x. Mas como ∆ = 4 ∙ (1 - |cos r|), não corremos o risco de ∆ ser menor que zero, pois a função cosseno tem como valor mínimo -1 e como valor máximo 1.  

Portanto, para ∆ > 0, temos:  

4 ∙ (1 - |cos r|) > 0  

1 - |cos r| > 0  

|cos r| < 1  

-1 < cos r < 1  

Portanto,  

0 < r < π ou π < r < 2π (RESPOSTA)