Question

Para que valores de K a função definida por f(x)=x² -3x +K +1 admite:
a) duas raízes reais e iguais?
b) duas raízes reais e diferentes?

Answer 1

para ter duas raízes reais e iguais Δ=0
porque 
$\frac{-b\pm \sqrt{0} }{2*a} =\\\\ x'=x''=\frac{-b}{2*a}$

para ter duas raízes reais e distintas Δ >0
porque 
$\frac{-b\pm \sqrt{x>0} }{2*a} \\\\x'= \frac{-b+ \sqrt{x>0} }{2*a} \\\\x''= \frac{-b- \sqrt{x>0} }{2*a}$
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$f(x)=x^2-3x+k+1$

a = 1
b = -3
c = k+1

sabemos que Δ = b² -4 * a * c

a) duas raízes reais e iguais?
 Δ=0
então $b^2-4*a*c =0\\\\(-3)^2-4*1*(k+1)=0\\\\9-4k-4=0\\\\12-4k=0\\\\ 5=4k\\\\ \frac{5}{4} =k$
quando k = 5/4 a função admite duas raizes reais e iguais

b) duas raízes reais e diferentes?
Δ >0
$b^2-4*a*c>0\\\\(-3)^2-4*1*(k+1)>0\\\\9-4(k+1)>0\\\\9-4k-4>0\\\\5-4k>0\\\\-4k>-5\\\\k< \frac{-5}{-4} \\\\k< \frac{5}{4}$

quando k for = 5/4 a Δ será = 0 e só havera uma raíz

quando k for >  5/4 ...Δ será < 0 ..e quando isso acontece a parábola não corta o eixo x..portanto não existe raiz real para a função

e quando K for < 5/4 Δ será > 0 com isso terá duas raízes reais distintas