Question

Para que valores de k a equacao x^3−6x^2 +9x+k = 0 tem somente duas solucoes reais distintas?

Answer 1

x^3−6x^2 +9x+k = 0

a=1,b=-6,c=9 e d=k

Relações de Girard para ax³+bx²+cx+d=0

x1,x2 e x3  são as raízes

x1 + x2 + x3 = - b/a =6

x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a =9

x1.x2.x3 = - d/a =-k

******Fazendo  x1=x2=x

2x + x3 =6  ==>x3=6-2x  (i)

x² + 2x.x3  = 9  ==>x²=9-2x.x3  (ii)

x².x3 =-k (iii)

(i)  em (ii)

x²=9-2x.(6-2x)

x²=9-12x+4x²

3x²-12x+9=0

x²-4x+3=0

x'=[4+√(16-12)]/2=(4+2)/2=3x'=[4-√(16-12)]/2=(4-2)/2=1

Usando  x3=6-2x  (i)   e  x².x3 =-k (iii)

Se x=3 ==>x3=6-2*3=0  ==>3²*0=-k ==>k=0

Se x=1 ==>x3=6-2*1=4  ==>1²*4=-k ==>k=-4