Question

para que valor real de x temos: log de 2x+5 na base 3 + log de x+1 na base 1/3 = log de x+1 na base 3?

Answer 1

$log _{3}(2x+5)+log _{ \frac{1}{3} }(x+1)=log _{3}(x+1)$

Como os logaritmos da equação estão em bases diferentes, vamos escolher a base inteira. Pela propriedade de mudança de base de logaritmos

$log _{p}N= \frac{logN}{logp}$, temos:

$log _{3}(2x+5)+ \frac{log _{3}(x+1) }{log _{3} \frac{1}{3} }=log _{3}(x+1)$

Usando a definição de log, onde:

$log _{3} \frac{1}{3}=-1$, teremos:

$log _{3}(2x+5)+ \frac{log _{3}(x+1) }{-1}=log _{3}(x+1)$

Aplicando o inverso das propriedades, onde a p1, transforma-se em p2, temos:

$log _{3}(2x+5)-log _{3}(x+1)=log _{3}(x+1)$

Aplicando a p2 (propriedade do quociente)

$logb-logc=log \frac{b}{c}$, temos:

$log _{3}( \frac{2x+5}{x+1})=log _{3}(x+1)$

Sendo as bases iguais, podemos igualar os logaritmandos:

$\frac{2x+5}{x+1}=x+1$

$2x+5=(x+1)(x+1)$

$2x+5= x^{2} +2x+1$

$x^{2} =4$

$x= \sqrt{4}$

$x=\pm4$

Temos que pela condição de existência, o logaritmando deve ser > 0, portanto:


$\boxed{\boxed{S=(4)}}$


Espero ter ajudado e bons estudos!!!