Question

Para que valor de k a equação x² + y² - 2x + 4y - k + 3 = 0 representa uma circunferência?? Ajuda

Answer 1

Olá Jeffprisonbreak.



Sabendo que a equação geral de uma circunferência é dada por:

$\mathsf{(x-a)^2+(y-b)^2=r^2}$

Onde a e b é o centro dessa circunferência.

Usando fatoração para encontrar o valor de k:

$\mathsf{x^2+y^2-2x+4y+k-3=0}\\\\\mathsf{x^2-2\cdot x+y^2+2\cdot2y+k-3=0~~+(1^2+2^2)}\\\\\mathsf{x^2-2x +1+y^2+4y+4+k=5+3}\\\\\mathsf{(x-1)^2+(y+2)^2=8-k}$

Para que a equação acima seja uma circunferência, é necessário que o lado direito da igualdade assuma um valor positivo, portanto temos:

$\mathsf{8-k\ \textgreater \ 0}\\\\\mathsf{-k\ \textgreater \ 8~\cdot(-1)}\\\\\boxed{\mathsf{k\ \textless \ 8}}$

$\boxed{\mathsf{S=\{x\in\mathbb{R}~|~x\ \textless \ 8\}}}$


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