Question

Para que uma função seja contínua em um ponto x=k de seu domínio, é necessário que exista o \lim_(x->1)f(x) e este limite coincide com o valor da função em k, ou seja

f(x) é continua em k<=>\lim_(x->1)f(x)=f(k).

Se f(x)=(2x^(2)-5x-3)/(x-3) para x!=3 e f(3)=k, determine k de modo que f seja continua em 3.

Answer 1

Resposta:

O valor de f(3) deve ser igual a 7 para que f(x) seja contínua em x=3.

Explicação passo a passo:

A função f(x) está definida como:

f(x) = (2x^2 - 5x - 3) / (x-3)

Vamos supor que podemos fatorar o polinômio quadrático do numerador como abaixo:

(x-3) * (a*x+b) = a*x^2 + b*x - 3*a*x -3*b  

= a*x^2 + (b-3a)*x - 3*b

Para que isso ocorra, é necessário que a e b tenham os seguintes valores:

a = 2

b = 1

Realmente é possível a fatoração, pois com esses valores de a e b:

a*x^2 + (b-3a)*x - 3*b = 2*x^2 -5*x -3  = f(x)

Então podemos reescrever, para x ≠ 3:  

f(x) = [(2*x+1)*(x-3)] / (x-3)  

= 2*x+1

Podemos então calcular o limite de f(x) para x->3:

$\lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} 2x+1 = 7$

Portanto o valor de k deve ser 7.