Question

Para que possamos construir a série de Fourier associada a uma função real f, é necessário que f satisfaça algumas condições, dentre as quais podemos destacar a periodicidade, por exemplo. Com as condições correspondentes verificadas, podemos afirmar que f admite uma expansão em série de Fourier convergente.

Diante desse tema, considere L um número real positivo, a partir do qual foi construída a seguinte função:

(NA IMAGEM EM ANEXO.)

com (NA IMAGEM EM ANEXO.) para todo x real.

Sabendo que f admite uma expansão em série de Fourier convergente, qual das seguintes afirmações apresenta corretamente o valor assumido pelo termo na expansão em série de Fourier para f?

Answer 1

Expandidndo a função no primeiro coeficiente de senos de Fourier temos que o termo Ao da serie é dado por L/2, Letra a).

Explicação passo-a-passo:

Vemos que a função dada de fato satisfaz a condição de periodicidade para formação de Series de Fourier, e vemos também que as alternativas só pedem sobre o termo Ao da serie, então vamos direto para o calculo desta.

O termo Ao é dado por:

$Ao=\frac{1}{L}\int\limits^{L}_{-L}f(x)dx$

Assim vamos, ao nosso caso, mas note que nossa função é mista, então termo que separar nossa integral em duas parte, uma de -L a 0 e outra de 0 a L:

$Ao=\frac{1}{L}\int\limits^{0}_{-L}(x+L)dx+\frac{1}{L}\int\limits^{L}_{0} (L)dx$

Resolvendo estas integrais:

$Ao=\frac{1}{L}(\frac{x^2}{2}+Lx)\limits^{0}_{-L}+\frac{1}{L}(Lx)\limits^{L}_{0}$

$Ao=\frac{1}{L}(\frac{L^2}{2}-L^2)+\frac{1}{L}(L^2)$

$Ao=\frac{L}{2}-L+L$

$Ao=\frac{L}{2}$

Então o termo Ao da serie é dado por L/2, Letra a).