Question

Para que os valores de m o sistema: x + y +mz =0                                                     
                                                       x - y - 2z = 0                                                     
                                                      x + my + 0z =0                                                        admite soluções distintas  da terna ( 0, 0 ,0)

Answer 1

 Olá Paulo,
boa tarde!
 
 Fujamos um pouco da formalidade envolvendo o assunto. [risos]

 Somando as equações,

$\begin{cases}x+y+mz=0\\x-y-2z=0\\x+my=0\end{cases}\\----------\\x+x+x+y-y+my+mz-2z=0\\3x+my+(m-2)z=0$

 Note que, se o coeficiente de "y" e de "z" forem nulos teremos x = 0, e, por conseguinte, a solução trivial será a única.

 Portanto,

I)

$\boxed{m\neq0}$

II)

$m-2\neq0\\\boxed{m\neq2}$