Question

Para que o valores de "a" pertencente aos reais o seguinte conjunto é uma base de R3:

B={(a,1,0),(1,a,1),(0,1,a)}.

Answer 1

Olá!

Se temos três vetores que são base em R³, então a condição é que a terna

(vet(u),vet(v),vet(w)) sejam vetores não coplanares.

Temos: vet(u) = (a,1,0) ; vet(v) = (1,a,1) e vet(w) = (0,1,a)

Da condição de coplanaridade, temos:

| a  1  0| = 0 ;  Resolvendo o determinante:
| 1  a  1|
| 0  1  a|

| a  1  0| a  1
| 1  a  1| 1  a  = a³+0+0-0-a-a = a³-2a = 0 , donde vem:
| 0  1  a| 0  1

a(a²-2) = 0 => a = 0  ou  a²-2 = 0 => a² = 2 => a = +/-√2

∴ a = 0, a = -√2 ou a = √2

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Espero ter ajudado! :D