Question

para que o valor se k as retas r:y= 5 x +5 e S : kx - 6y +1 =0 são paralelas? ​

Answer 1

Resposta: as retas são paralelas para $\sf k=30$.

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Explanação

Vamos lá? Dado os pares de retas

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                               $\large\sf r:y=5x+5~~e~~s:kx-6y+1=0$

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, desejamos calcular o valor do parâmetro $\sf k$ de modo que elas sejam paralelas. Para isso, consideremos as retas ''r'' e ''s'' de equações r : yᵣ = mᵣx + nᵣ e s : yₛ = mₛx + nₛ. Elas serão

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                  $\large\sf paralelas\:e\:distintas\:se,\:e\:s\acute{o}\:se,\:\boldsymbol{\sf m_r=m_s~e~n_r\neq n_s}.$

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Isto é, elas serão paralelas, e também distintas se, e só se, tiverem coeficientes angulares iguais e coeficientes lineares diferentes. Observação: é bom assegurar-se de que $\sf n_r\neq n_s$, pois caso esses coeficientes também sejam iguais, as retas serão coincidentes e não paralelas.

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PASSO 1

Vamos identificar os coeficientes das retas (observação: a reta ''r'' já está na forma reduzida, já a reta ''s'' não. Então faz-se necessário encontrar a equação reduzida dela para identificar os coeficientes ''m'' e ''n''):

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ﾠﾠ$\begin{array}{l}\begin{cases}~\sf r:y=5x+5\implies m_r=5,n_r=5\\\\~\sf s:kx-6y+1=0\iff y=\dfrac{k}{6}x+\dfrac{1}{6}\implies m_s=\dfrac{k}{6},n_s=\dfrac{1}{6}\end{cases}\end{array}$

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PASSO 2

Esse já é o último passo. Basta comparar $\sf m_r=m_s$ e $\sf n_r\neq n_s$:

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ﾠﾠ$\large\begin{array}{l}\sf m_r=m_s~\land~n_r\neq n_s\\\\\sf 5=\dfrac{k}{6}~\land~5\neq \dfrac{1}{6}~\bigg\}~\small\sf OK\\\\\sf \dfrac{k}{6}=5\\\\\sf k=5\cdot6\\\\\red{\boldsymbol{\sf k=30}}.\end{array}$

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Portanto, para $\boldsymbol{\sf k=30}$ as retas dadas são paralelas. Alguma dúvida? Pergunte nos comentários! Abraços, Nasgovaskov.