Question

para que o valor de m as raizes da equacoes 4x³ - 12x² + 11x - m=0 formam uma P.A'

Answer 1

Supondo que as raízes sejam

$R=\{a-r,a,a+r\}$

e que

$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$

vamos ter que usar os teoremas de Girard

$S=a_1+a_2+a_3$

$S=-\frac{b}{a}$

$S=-\frac{(-12)}{4}=a-r+a+a+r$

$3=3a$

$a=1$

Agora nossas raízes ficam sendo

$R=\{1-r,1,1+r\}$

agora vamos para o segundo passo

$P_1=a_1*a_2+a_1*a_3+a_2*a_3$

$P_1=\frac{c}{a}$

$P_1=\frac{11}{4}=(1-r)*1+(1-r)*(1+r)+1*(1+r)$

$\frac{11}{4}=1-r+1-r^2+1+r$

$\frac{11}{4}=-r^2+3$

$11=-4r^2+12$

$r^2=\frac{1}{4}$

$\boxed{r=\pm\frac{1}{2}}$

agora as raízes ficam sendo

para $r=-\frac{1}{2}$

$R=\{\frac{3}{2},1,\frac{1}{2}\}$

para $r=\frac{1}{2}$

$R=\{\frac{1}{2},1,\frac{3}{2}\}$

observe que os valores são iguais, só invertem as ordens, então o m para obter os dois valores será só um.

$P_2=a_1*a_2*a_3$

$P_2=-\frac{d}{a}$

$P_2=-\frac{(-m)}{4}=\frac{1}{2}*1*\frac{3}{2}$

$m=\frac{3}{4}*4$

$\boxed{\boxed{m=3}}$

dai temos:

$\boxed{\boxed{4x^3-12x^2+11x-3=0}}$