Question

Para que o produto (a+i) . (3-2i) seja real, qual o valor de a ?

Answer 1

Boa tarde Nathan 

(a + i)*(3 - 2i) = 

3a - 2ai + 3i - 2i² = (3a + 2) + (3 - 2a)i 

3 - 2a = 0
2a = 3

a = 3/2 

Answer 2

(a+i) (3 - 2i) =
3a - 2ai + 3i - 2i² =
3a - 2ai + 3i -2 (-1) =
3a - 2ai + 3i + 2 =
3a + 2 - 2ai + 3i = 
(3a + 2) + (-2ai + 3i) =
(3a + 2) + ( 3i - 2ai) =
(3a + 2 ) + (3 - 2a) i =

para que o resultado seja real, temos de zerar a parte imaginária, ok? 
3 - 2a = 0
- 2a = -3
a = -3/-2
a = 3/2

A outra questão: (4i)n + (1+i)4n + 8i=0
4n [i + (1 + i) ] = -8i
4n (1 + 2i) = -8i  (:4)
n(1 + 2i) = - 2i
n =  -2i      . (1 - 2i) ∴ n = -2i + 4i² ∴ n = -2i +4(-1) ∴ n = -2i - 4 ∴ n= -2i - 4 ∴ n = -4 - 2i
     1 + 2i   . (1 - 2i)            1 - 4i²            1 - 4 (-1)            1 + 4             5                 5