Question

Dois sócios repartiram o lucro de um investimento, no valor de R$ 7.200,00, de forma proporcional ao valor que cada um investiu inicialmente. Sabendo que o sócio A investiu R$ 2.200,00 a mais que o sócio B e seu lucro foi R$ 1.200,00 a mais que o sócio B, qual foi o investimento inicial do sócio A?

Answer 1

Vamos lá.

Veja: vamos tomar o valor do lucro (R$ 7.200,00) e vamos dividir pela soma do que cada um investiu inicialmente, para encontrarmos o quociente de proporcionalidade.
Assim, considerando que o sócio A investiu R$ 2.200,00 a mais que o sócio B, e que, do sócio B, não se sabe, ainda, nada sobre o valor do seu investimento, então temos que os dois sócios investiram os seguintes valores:

B = B  <--- Este foi o valor investido pelo sócio B. 
A = B + 2.200 <--- Este foi o valor investido pelo sócio A.

Agora, para encontrarmos o quociente de proporcionalidade (QP), vamos dividir R$ 7.200,00 pela soma dos dois investimentos iniciais acima. Assim, teremos:

QP = 7.200 / (A+2.200 + B)
QP = 7.200 / (2B+2.200) <---- Este é o quociente de proporcionalidade.


Agora vamos para uma outra informação.

Do lucro auferido, o sócio A recebeu R$ 1.200,00 a mais que o sócio B.
Então o sócio A recebeu, de lucro o valor de: "B + 1.200".


Finalmente, agora vamos ao que interessa, que é saber qual o valor inicial do investimento do sócio A.

Veja: o lucro será encontrado da seguinte forma: multiplica-se o QP pelo valor inicial de cada investimento.

Como já temos o valor do QP, que é igual a "7.200/(2b+2.200)" e temos o quanto recebeu, de lucro, o sócio A, que foi: "1.200+B", então teremos para o sócio A:

QP*investimento inicial do sócio A = lucro do sócio A.

Assim, substituindo-se QP por seu valor (7.200/(2B+2.200)) e o investimento inicial do sócio A por seu valor (B+2.200), e, finalmente, substituindo-se o valor do lucro do sócio A (B+1.200), teremos:

[7.200/(2B+2.200)]*(B+2.200) = B + 1.200 ---- efetuando-se o produto indicado no 1º membro, teremos:

[7.200*(B+2.200)]/(2B+2.200) = B + 1.200 ---- desenvolvendo, temos:

[7.200B + 7.200*2.200]/(2B + 2.200) = B + 1.200
[7.200B + 15.840.000]/(2B + 2.200) = B + 1.200 ---- multiplicando-se em cruz, teremos;

7.200B + 15.840.000 = (2B+2.200)*(B+1.200) --- efetuando-se o produto indicado no 2º membro, teremos:

 
7.200B + 15.840.000 = 2B*B + 2B*1.200 + 2.200*B + 2.200*1.200
7.200B + 15.840.000 = 2B² + 2.400B + 2.200B + 2.640.000 ---- reduzindo-se os termos semelhantes no 2º membro, teremos:

7.200B + 15.840.000 = 2B² +4.600B + 2.640.000  ---- passando todo o 1º membro para o 2º, teremos:

0 = 2B² + 4.600B + 2.640.000 - 7.200B - 15.840.000 --- reduzindo novamente os termos semelhantes, teremos;

0 = 2B² - 2.600B - 13.200.000 ----- para facilitar vamos dividir ambos os membros por "2" e vamos também inverter, ficando assim:

B² - 1.300B - 6.600.000 = 0 ----- aplicando Bháskara, você encontrará as seguintes raízes:

B' = - 2.000
B'' = 3.300.

Como o investimento inicial de B não pode ter sido negativo, então tomaremos apenas a raiz positiva e igual a:

B = 3.300,00 <--- Este foi o investimento inicial do sócio B.

Agora, finalmente, vamos para o valor inicial do investimento do sócio A.
Como temos que o sócio A investiu R$ 2.200,00 a mais que o sócio B, então teremos que:

A = B + 2.200 ----- substituindo "B" por 3.300, teremos:

A = 3.300 + 2.200
A = 5.500,00 <--- Este foi o investimento inicial do sócio A. Então esta é a resposta.


Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.