Question

Para que a função real f(x) = 2x2 + (m-1)x+ 1 tenha valor
mínimo igual a 1, o valor de m deve ser:
é o ponto
a) - 1 ou 2
b) - 2 ou 1
C) 1
d) - 2

Answer 1

Uma função do segundo grau pode ser expressa de maneira genérica como $f(x) = ax^2+bx+c$, sendo a, b e c valores reais.

Função do enunciado: $f(x) = 2x^2+(m-1)x+1$

Coeficientes: $a = 2, b = m-1, c = 1$

Nesse exercício, é solicitado que você calcule o valor de m de forma que o Y do vértice (Yv), que é a coordenada Y do ponto extremo da parábola, seja igual a 1.

A fórmula para o Yv, é:

$Y_v = -\frac{\Delta}{4a}$

Logo, desenvolvendo o valor de Yv:

$Y_v = -\frac{\Delta}{4a} \\ \\Y_v = -\frac{b^2-4 \cdot a \cdot c}{4a} \\ \\Y_v = -\frac{(m-1)^2-4 \cdot 2 \cdot 1}{4 \cdot 2} \\ \\Y_v = - \frac{m^2-2m+1 - 8}{8} \\ \\Y_v = - \frac{m^2-2m-7}{8} \\ \\\boxed{Y_v = \frac{-m^2+2m+7}{8}}$

Pelo enunciado, Yv = 1. Portanto:

$\frac{-m^2+2m+7}{8} = Y_v \\ \\ \frac{-m^2+2m+7}{8} = 1 \\ \\-m^2+2m+7 = 8 \\ \\\boxed{-m^2+2m-1=0}$

Pode-se agora resolver a equação acima por Bhaskara ou o seu método preferido. Por fatoração:

$-m^2 + 2m-1 = 0 \\ \\-(m-1)^2 = 0 \\ \\m-1 = 0 \\ \\\boxed{\boxed{m = 1}}$

Resposta: m = 1.

Por fim, com m = 1, tem-se a seguinte função:

$\boxed{f(x) = 2x^2+1}$

Representação de f(x) anexa!