Question

Para quantos inteiros positivos n, menores que 70, a fração a seguir é irredutível?

$\mathsf{\dfrac{5n+6}{6n+5}}$ 

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Por favor responder de forma detalhada. Respostas com brincadeiras serão eliminadas.

Answer 1

Olá.

$\mathsf{\dfrac{5n+6}{6n+5}}$

Vamos chamar de d o MDC do numerador e do denominador.
mdc(5n + 6, 6n + 5) = d

Portanto,
d | 5n + 6
d | 6n + 5

Se d divide ambos os números, ele divide a soma e a diferença entre eles.
d | 5n + 6 + (6n + 5)
d | 11n + 11

d | 6n + 5 - (5n + 6)
d | 6n + 5 - 5n - 6
d | n - 1

Se d divide 11n + 11 e divide n - 1, ele dividirá a soma e a diferença entre eles.
d | 6n + 5 - 6(n - 1)
d | 6n + 5 - 6n + 6
d | 11

Logo,
d = 1 ou d = 11

d = 1 não nos importa nesse, então agora vamos fazer uma verificação do MDC, para comprovar a possibilidade do 11:

dk = 5n + 6
dk' = 6n + 5

dk' - dk = 6n + 5 - (5n + 6)
dk' - dk = 6n + 5 - 5n - 6
dk' - dk = n - 1

d = 11

11(k' - k) = n - 1

(k' - k) = z

11z = n - 1

11z + 1 = n

Onde z tem de ser um número inteiro e o resultado vai gerar os possíveis casos.

Assim, teremos 12 + 23 + 34 + 45 + ... = 11z + 1.

Como temos o intervalo 0 < n < 70, teremos o intervalo de z:
0 < 11z + 1 < 70 - (1)
-1 < 11z + 1 - 1 < 70 - 1
-1 < 11z < 69 / 11
-1/11 < z < 69/11
-0,09... < z < 6,27...

Como n tem de ser inteiro, consequentemente z também tem de ser. Logo, devemos arredondar:
0 ≤ z ≤ 6

Teremos, então:
11*0 + 1 =
0 + 1 = 
1

11*1 + 1 =
11 + 1 =
12

11*2 + 1 =
22 + 1 =
23

11*3 + 1 =
33 + 1 =
34

11*4 + 1 =
44 + 1 =
45

11*5 + 1 =
55 + 1 =
56

11*6 + 1 =
66 + 1 =
67

Assim, temos a sequência:

n = {1, 12, 23, 34, 45, 56, 67}

Dessa maneira, dentro do intervalo de n, temos 7 números não satisfazem a condição inicial para n, pois torna as frações múltiplas de 11.
Assim, as irredutíveis serão:
70-7=63

Thank's Aks.
Qualquer dúvida, deixe nos comentários.
Bons estudos.