Question

Para quais valores reais de x o produto (x ao quadrado -5x+6) (x ao quadrado-16) é positivo?

Answer 1

Vamos lá.

Pelo que estamos entendendo, Nely, a sua questão pede isto:

(x²-5x+6)*(x²-16) > 0 ---- ou seja: quer-se saber para quais os valores de "x" este produto é positivo.

Veja que temos aqui duas funções do 2º grau, cujo produto deverá ser maior do que zero (positivo).
Temos f(x) = x²-5x+6 e temos g(x) = x² - 16.
Veja que iremos fazer o seguinte: encontraremos as raízes de cada uma das equações. Depois, em função de suas raízes, estudaremos a variação de sinais de cada uma delas e teremos o domínio da inequação original.
Assim:

f(x) = x²-5x+6 ---> raízes: x²-5x+6 = 0 ---> x' = 2; e x'' = 3
g(x) = x²-16 ---> raízes: x²-16 = 0 ---> x' = - 4; e x'' = 4

Agora vamos analisar a variação de sinais de cada uma das equações em função de suas raízes. Assim, teremos:

a) f(x) = x²-5x+6... + + + + + + + + + + (2)- - - - - -  (3)+ + + + + + + + + + + + +
b) g(x) = x²-16.....++++++(-4)- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (4)+ + + + + + + + +
c) a*b ................+ + + + +(-4)- - - - - - -(2)+ + + + +(3)- - - - (4)+ + + + + + + + +

Como queremos que f(x)*g(x) seja MAIOR do que zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de MAIS no item "c" acima , que nos fornece o resultado do produto entre as duas funções. Assim, o domínio será:

x < -4, ou 2 < x < 3, ou x > 4.

Se você quiser, poderá apresentar o domínio da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

D = {x ∈ R | x < -4, ou 2 < x < 3, ou x > 4}

E, também se quiser, o domínio poderá ser expresso do seguinte modo, o que significa o mesmo:

D = (-∞; -4) ∪ (2; 3) ∪ (4; +∞) .

É isso aí.
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.