Question

Para quais valores reais de x o produto (x^2-5x+6)(x^2-16) é positivo?

Answer 1

Resposta:

S = { x ∈ |R/ x < -4 V 2 < x < 3 V x > 4}

obs. o símbolo V representa 'ou'.

Explicação passo a passo:

(x² -5x + 6)(x² - 16)

Para ser positivo:

(x² -5x + 6)(x² - 16) > 0

Obs. o zero é neutro

como temos uma multiplicação de duas equações (x² -5x + 6) e (x² - 16), faremos o estudo de sinal para cada equação:

1a equação: x² -5x + 6 = 0

$\displaystyle Aplicando~a~f\acute{o}rmula~de~Bhaskara~para~x^{2}-5x+6=0~~e~comparando~com~(a)x^{2}+(b)x+(c)=0,~determinamos~os~coeficientes:~\\a=1{;}~b=-5~e~c=6\\\\C\acute{a}lculo~do~discriminante~(\Delta):&\\&~\Delta=(b)^{2}-4(a)(c)=(-5)^{2}-4(1)(6)=25-(24)=1\\\\C\acute{a}lculo~das~raizes:&\\x^{'}=\frac{-(b)-\sqrt{\Delta}}{2(a)}=\frac{-(-5)-\sqrt{1}}{2(1)}=\frac{5-1}{2}=\frac{4}{2}=2\\\\x^{''}=\frac{-(b)+\sqrt{\Delta}}{2(a)}=\frac{-(-5)+\sqrt{1}}{2(1)}=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3\\\\S=\{2,~3\}$

Como a > 0, a concavidade da parábola é voltada para cima:

Estudo dos sinais:

                       --------------------------(0)-------(2)------(3)------------------------------

x² -5x + 6 = 0  ++++++++++++++++++++++( ) - - - -( ) ++++++++++++++++++

2a equação: (x² - 16) = 0

x² = 16

x = ±√16

x = ±4

Como a > 0, a concavidade da parábola é voltada para cima:

Estudo dos sinais:

                      -------(-4)-------------------(0)---------------(4)----------------------------

(x² - 16) = 0    +++++( )- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (  )+++++++++++++++++

Na multiplicação das duas equaçãoes.

Lembre-se na multiplicação os sinais são

(+)×(+) = (+)

(+)×(-) = (-)

(-)×(+) = (-)

(-)×(-) = (+)

                                   -----------(-4)-----------(0)-------(2)--------(3)---------(4)----------

(x² -5x + 6)                  ++++++++++++++++++++++( ) - - - - - ( )++++++++++++++

(x² - 16)                        ++++++++( )- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -(  )+++++

(x² -5x + 6)∩(x² - 16)    ++++++( -4) - - - - - - - - - - (2)++++++(3)- - - - -(4)++++++

x < -4

2 < x < 3

x > 4