Question

Para quais valores reais de p o ponto (-1,p) não eh interno ah circunferência de equação geral x2+y2-7x+2y-11=0?

Answer 1

Escrevendo a equação da circunferência x² + y² - 7x + 2y - 11 = 0 na forma reduzida:

$x^2-7x+\frac{49}{4}+y^2+2y+1=11+\frac{49}{4}+1$

$(x-\frac{7}{2})^2+(y+1)^2=\frac{97}{4}$

Para que o ponto A = (-1,p) seja exterior à circunferência, então a distância do ponto A até o centro $C=(\frac{7}{2},-1)$ tem que ser maior que o raio, ou seja, maior que $\frac{\sqrt{97}}{2}$.

Assim,

$d(A,C) = \sqrt{(\frac{7}{2}+1)^2+(-1-p)^2} > \frac{\sqrt{97}}{2}$

$\frac{81}{4}+1+2p+p^2 > \frac{97}{4}$

p² + 2p - 3 > 0

Utilizando a fórmula de Bháskara:

Δ = 2² - 4.1.(-3)

Δ = 4 + 12

Δ = 16

$p = \frac{-2+-\sqrt{16}}{2}$

$p = \frac{-2+-4}{2}$

$p' = \frac{-2+4}{2} = 1$

$p'' = \frac{-2-4}{2} = -3$

Como p² + 2p - 3 > 0, então podemos concluir que:

Para (-1,p) ser exterior à circunferência, p deve pertencer ao intervalo (-∞,-3) ∪ (1, ∞).