Question

dados os vetores u e v, determine os vetores z e w tais que:





2(u+z)-3(v+w)=u e 5(u-z)+2(v-w)=v

Answer 1

De 2(u + z) - 3(v + w) = u, temos que:

2u + 2z - 3v - 3w = u

2z - 3w = 3v - u (*)

De 5(u - z) + 2(v - w) = v, temos que:

-5z - 2w = -5u - v

Multiplicando por -1:

5z + 2w = v + 5u (**)

Como (*) e (**) podemos montar o seguinte sistema:

{2z - 3w = 3v - u

{5z + 2w = v + 5u

Multiplicando a primeira equação por 2 e a segunda equação por 3:

{4z - 6w = 6v - 2u

{15z + 6w = 3v + 15u

Somando as duas equações:

19z = 9v + 13u

Portanto, $z = \frac{9v+13u}{19}$

Substituindo o valor de z em 2z - 3w = 3v - u:

$2(\frac{9v+13u}{19})-3w=3v-u$

$\frac{18v}{19}+ \frac{26u}{19}-3w=3v-u$

$3w = \frac{18v}{19}-3v +\frac{26u}{19}+u$

$3w = \frac{-39v+45u}{19}$

Portanto,

$w = \frac{15u-13v}{19}$