Question

Para quais valores dos números a e b a função f(x)=axE^bx^2 tem o valor máximo f(2)=1?

mostre que raiz(1+x) <1 +1/2x,se x>0

Answer 1

$\boxed{\boxed{f(x)=axe^{bx^2}}}$

derivando usando a regra do produto
$f'(x)= a*e^{bx^2} + ax*e^{bx^2}*2bx\\\\\boxed{\boxed{f'(x)=ae^{bx^2}\left(1+2bx^2\right)}}$

ela atinge o valor máximo quando f'(x) = 0
e neste momento x=2 ..porque no ponto maximo f(2)=1 
então
$0=ae^{b*2^2}\left(1+2b*2^2\right)}\\\\0=1+8b\\\\ \boxed{ \frac{-1}{8}=b }$

voltando na função 
f(2) =1 

$f(2)=a*2e^{ \frac{-1}{8}*2^2}} =1\\\\a*e^{- \frac{1}{2} }= \frac{1}{2} \\\\\boxed{\boxed{a= \frac{ \sqrt{e} }{2} }}$

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$\boxed{\boxed{ \sqrt{1+x}\ \textless \ 1 + \frac{x}{2} , se\; x\ \textgreater \ 0}}$

usando o teorema do valor médio
$\boxed{\boxed{f'(C)= \frac{f(b)-f(a)}{b-a} , \; C\in(a,b)}}$

temos
$f(x)= \sqrt{1+x} \\\\f'(x)= \frac{1}{2 \sqrt{1+x} }$

 no intervalo [0,x]

$f'(C)= \frac{f(x)-f(0)}{x-0} \\\\ \boxed{\boxed{\frac{1}{2 \sqrt{C+1} }= \frac{ \sqrt{x+1}-1 }{x} }}$

como C pertence ao intervalo então
se C>0 , desta forma o maior valor que  ,f'(C) poderia assumir é quando C=0 , seria f'(0) = 1/2
mas como C >0 então f'(C) < 1/2

temos que:
$\boxed{\boxed{\frac{ \sqrt{x+1}-1 }{x} =\frac{1}{2 \sqrt{C+1} }\ \textless \ \frac{1}{2} }}$

desta expressão tiramos 
$\frac{ \sqrt{x+1}-1 }{x}\ \textless \ \frac{1}{2} \\\\ \boxed{\boxed{\sqrt{x+1}\ \textless \ 1+ \frac{x}{2} }}$

Answer 2

Resposta:

 

1) Qual é o valor de h para que a função f(x) = -4x² + 2x + h – 2 tenha como valor máximo -6?

a) -4,25

2) Um fruticultor, no primeiro dia da colheita de sua safra anual, vende cada fruta por R$ 2,00. A partir daí o preço da cada fruta decresce R$ 0,02 por dia. Considere que esse fruticultor colheu 80 frutas no primeiro dia e a colheita aumenta uma fruta por dia. Determine o dia da colheita de maior ganho para esse fruticultor.

c) 10º dia

Explicação passo a passo: