Question

Para quais valores de x existe cada um dos logaritmo a seguir ?

a-) Log ( x-2 )
3
b-) log ( 10-2x )
0,5

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Resilva, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se: para que valores de "x" existe cada um das seguinte expressões logarítmicas, que vamos chamar, cada uma, de um certo "y" apenas para deixá-las igualadas a alguma coisa:

i.a)

y = log₃ (x-2)

Agora veja: só existe logaritmos de números positivos (>0). Então, como condição de existência, deveremos impor que o logaritmando (x-2) deverá ser positivo (>0). Então, teremos que:

x - 2 > 0

x > 2 ------ Esta é a condição de existência da expressão logarítmica do item "a". Ou seja, para que a expressão logarítmica original exista é necessário que "x" seja maior do que "2".

Realmente, se você for encontrar qual é a raiz dessa expressão, então vamos igualar "y" a "0", com o que ficaremos assim:

0 = log₃ (x-2) ------- ou, o que é a mesma coisa:

log₃ (x-2) = 0 ---- agora note: se você aplicar a definição de logaritmo, então o que temos aqui é a mesma coisa que:

3⁰ = x - 2 ----- como "3⁰ = 1", teremos:

1 = x - 2 ------ passando "-2" para o 1º membro, temos:

1 + 2 = x ---- ou apenas:

3 = x ---- ou, invertendo-se:

x = 3 <--- Veja que a raiz deu igual a "3" e está satisfazendo à condição de existência imposta de que "x" deveria ser maior do que "2". E "3" é, realmente, maior do que "2". Portanto, satisfeita a condição de existência imposta.

b)

y = log₀ˏ₅ (10-2x)

Como só existe logaritmos de números positivos, então vamos logo impor a condição de existência de que o logaritmando (10-2x) terá que ser positivo (maior do que zero). Logo, deveremos ter que:

10 - 2x > 0

-2x > - 10 ----- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos (lembre-se: quando se multiplica uma desigualdade por "-1" o seu sentido muda: o que era ">" passa pra "<" e vice-versa):

2x < 10

x < 10/2

x < 5 <----- Esta é a condição de existência da expressão logarítmica do item "b". Ou seja, a expressão só existirá se o valor de "x" for menor do que "5".

Realmente, se formos encontrar a raiz desta expressão logartítmica então igualaremos "y" a "0", ficando assim:

0 = log₀ˏ₅ (10-2x) ----- aplicando a definição de logaritmo, temos que isto é a mesma coisa que:

(0,5)⁰ = 10-2x ----- como (0,5)⁰ = 1, teremos:

1 = 10-2x ---- passando "10" para o 1º membro, temos:

1 - 10 = - 2x ------ desenvolvendo, temos:

-9 = - 2x ----- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos:

9 = 2x ---- vamos apenas inverter, ficando:

2x = 9

x = 9/2

x = 4,5 <---- Veja que "4,5" é realmente menor do que "5", o que atende à condição de existência anteriormente imposta para a expressão logarítmica do item "b".

É isso aí.

Deu pra entender bem?

Ok?

Adjemir.