Question

Para quais valores de m os pontos A(m, 1, 2), B(2, −2, −3), C(5, −1, 1)e

D(3, −2, −2) são coplanares?

preciso de ajuda urgente ​

Answer 1

Resposta:

$m=4$

Explicação passo-a-passo:

Vamos dizer que os vetores $\vec{BC}=C-B=(3,1,4)$ e $\vec{BD}=D-B=(1,0,1)$ pertencem a um plano $\alpha$. Para determinar a equação desse plano, vamos inicialmente calcular um vetor normal a esse plano. Para isso, basta realizarmos o produto vetorial entre dois desses 2 vetores.

Peguemos então o vetor $\vec{v}=\vec{BC}\times \vec{BD}$. Temos que:

$\vec{v}=\begin{vmatrix}i &j &k \\ 3 &1 &4 \\ 1 &0 &1 \end{vmatrix}$

$\vec{v}=i\cdot1\cdot1+j\cdot4\cdot1+k\cdot0\cdot3-(k\cdot1\cdot1+j\cdot3\cdot1+i\cdot0\cdot4)$

$\vec{v}=i+4j-(k+3j)$

$\vec{v}=i+j-k=(1,1,-1)$

Sendo $\vec{v}$ um vetor normal a $\alpha$, o produto escalar entre ele e qualquer vetor contido em $\alpha$ deve ser nulo. Considerando então que um ponto $P(x,y,z)\in\alpha$, temos então que o vetor $\vec{BP}=P-B=(x-2,y+2,z+3)$ deve ser ortogonal a $\vec{v}$, ou seja, o produto interno entre eles deve ser nulo:

$\left \langle \vec{v},\vec{BP} \right \rangle=0$

$\left \langle (1,1,-1),(x-2,y+2,z+3) \right \rangle=0$

$1\cdot(x-2)+1\cdot(y+2)-1\cdot(z+3)=0$

$x-2+y+2-z-3=0$

$x+y-z=3$

Temos então a equação de $\alpha$. Para que $A\in\alpha$, basta que este ponto satisfaça à equação do plano:

$m+1-2=3$

$m=4$