Matemática, perguntado por alfredoneto39p3dljl, 8 meses atrás

Para quais valores de m os pontos A(m, 1, 2), B(2, −2, −3), C(5, −1, 1)e

D(3, −2, −2) são coplanares?

preciso de ajuda urgente ​

Soluções para a tarefa

Respondido por Zecol
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Resposta:

m=4

Explicação passo-a-passo:

Vamos dizer que os vetores \vec{BC}=C-B=(3,1,4) e \vec{BD}=D-B=(1,0,1) pertencem a um plano \alpha. Para determinar a equação desse plano, vamos inicialmente calcular um vetor normal a esse plano. Para isso, basta realizarmos o produto vetorial entre dois desses 2 vetores.

Peguemos então o vetor \vec{v}=\vec{BC}\times \vec{BD}. Temos que:

\vec{v}=\begin{vmatrix}i &j  &k \\ 3 &1  &4 \\ 1 &0  &1 \end{vmatrix}

\vec{v}=i\cdot1\cdot1+j\cdot4\cdot1+k\cdot0\cdot3-(k\cdot1\cdot1+j\cdot3\cdot1+i\cdot0\cdot4)

\vec{v}=i+4j-(k+3j)

\vec{v}=i+j-k=(1,1,-1)

Sendo \vec{v} um vetor normal a \alpha, o produto escalar entre ele e qualquer vetor contido em \alpha deve ser nulo. Considerando então que um ponto P(x,y,z)\in\alpha, temos então que o vetor \vec{BP}=P-B=(x-2,y+2,z+3) deve ser ortogonal a \vec{v}, ou seja, o produto interno entre eles deve ser nulo:

\left \langle \vec{v},\vec{BP} \right \rangle=0

\left \langle (1,1,-1),(x-2,y+2,z+3) \right \rangle=0

1\cdot(x-2)+1\cdot(y+2)-1\cdot(z+3)=0

x-2+y+2-z-3=0

x+y-z=3

Temos então a equação de \alpha. Para que A\in\alpha, basta que este ponto satisfaça à equação do plano:

m+1-2=3

m=4

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