Question

Para quais valores de m a equação x2+10x+y2-6y+m=0 representa uma circunferência?

Answer 1

x²+10x+y²-6y+m=0
(x+5)²-25+(y-3)²-9+m = 0
(x+5)²+(y-3)²-34+m = 0
(x+5)²+(y-3)²= 34-m

Como é o raio, então deve ser positivo:

34-m > 0
34 > m 

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Alefote, que a resolução é simples.
Pede-se o valor de "m" para que a equação abaixo represente uma circunferência:

x² + 10x + y² - 6y + m = 0

Antes de mais nada veja que a equação reduzida de uma circunferência que tenha centro em C(x₀; y₀) e raio = r , é encontrada assim:

(x-x₀)² + (y-y₀)² = r²      . (I)

Vamos deixar a expressão (I) acima "guardadinha", pois daqui a pouco iremos precisar dela. 

Agora vamos encontrar qual é a equação reduzida da circunferência da sua questão, que é esta:

x² + 10x + y² - 6y + m = 0 .

Mas, para isso, deveremos formar os quadrados a partir da equação geral acima, tendo o cuidado de subtrair aqueles números que serão acrescidos em função da formação dos quadrados. Assim, teremos:

(x+5)² - 25 + (y-3)² - 9 + m = 0 ----- ordenando, teremos:
(x+5)² + (y-3)² - 25 - 9 + m = 0 ----- reduzindo os termos semelhantes, temos:
(x+5)² + (y-3)² - 34 + m = 0 ----- passando "-34+m" para o 2º membro, teremos;
(x+5)² + (y-3)² = 34 - m

Agora compare a equação reduzida da circunferência da sua questão com a expressão  (I), que deixamos "guardadinha" lá em cima.
Vamos apenas repeti-las pra facilitar a comparação:

(x-x₀)² + (y-y₀)² = r²        . (I)
(x+5)² + (y-3)² = 34 - m .

Veja: pela comparação feita, você já deverá ter concluído que a circunferência da sua questão tem centro em C(-5; 3) e tem raio igual a √(34-m), pois basta você, na comparação, ver que:

r² = 34-m -------- isolando "r", teremos:
r = +-√(34-m) ----- como o raio nunca é negativo, então tomaremos apenas a raiz positiva e igual a:

r = √(34-m)  ----- Agora veja: só existe raiz quadrada de números  maiores ou iguais a zero. Mas como estamos tratando com raio de circunferência, então vamos considerar que seja apenas MAIOR do que zero.  Então vamos impor que o radicando "34-m" seja maior do que zero, com o que ficaremos assim:

34 - m > 0 ---- passando "34" para o 2º membro, teremos:
- m > - 34 ------ multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos:
m < 34 ---- Esta é a resposta. Ou seja, "m" deverá ser menor que "34" para que a equação represente uma circunferência.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.