Question

Para quais valores de k o seguinte sistema é compatível determinado, compatível indeterminado e incompatível? Sendo:
x + y + kz = 2
3x + 4y + 2z = k
2x + 3y - z = 1

Answer 1

Para determinar para quais valores é compatível determinado (SPD), SPI e SI, vamos escalonar o sistema e, em seguida analisá-lo.

x + y + kz = 2  (i)

3x + 4y + 2z = k (ii)

2x + 3y - z = 1 (iii)

Primeiro, vamos tentar zerar os "x" das equações (ii) e (iii). Vou multiplicar a primeira equação por 3 e subtrair da segunda, substituindo-a pelo resultado.

Multiplicado a primeira equação por 3, temos:

3x + 3y + 3kz = 6 (a)

Subtraindo essa equação (a) da segunda:

(a) - (ii) => - y + (3k - 2)z = 6 -k

Multiplicado a primeira equação por 2, temos:

2x + 2y + 2kz = 4 (b)

(b) - (iii) => -y + (2k - 1)z = 3

Assim, temos:

x + y + kz = 2  (i)

- y + (3k - 2)z = 6 - k (ii')

-y + (2k - 1)z = 3 (iii')

Agora, vamos tentar eliminar o y da terceira equação.

Subtraindo (ii') de (iii'), ficamos com => (k - 3)z = 3 - k

Finalmente, nosso sistema escalonado é:

x + y + kz = 2  (i)

- y + (3k - 2)z = 6 - k (ii')

(k - 3)z = 3 - k (iii'')

Note:

Se k = 3:

x + y + 3z = 2

-y + 7z = 3

0z = 0

Se, para qualquer z, 0z = 0, temos um sistema possível e indeterminado, com infinitas soluções quando k = 3.

Isolando x e y na primeira e segunda equação, obtemos:

S = {(-10z + 5, 7z - 3, z);z∈R; k = 3}

Agora, se k for diferente de 3, podemos escrever:

z = 3 - k/k - 3

z = -1(-3 + k)/(k - 3)

z = -1(k -3)/(k - 3)

z = -1

Substituindo esse valor nas outras equações:

y = -2k - 4

x = 3k + 6

Logo, temos um sistema possível e determinado (uma solução determinada para cada valor de k), quando k ≠ 3.

Em que: S = {(3k + 6), (-2k - 4), (-1), z∈R; k ≠ 3}

Se, para k = 3, temos SPI e, para qualquer k diferente de 3, temos um SPD, não existem valores de k para obtermos um sistema impossível.

Espero ter ajudado. :)

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