Question

Para quais valores a função a seguir não está definida? f(x)= log(​x+​5)*​(x^​2-​9)

Answer 1

Resposta:

Primeiro vamos relembrar a definição e a condição de existência. Chamamos de logaritmo de a na base b, representado por logba, o valor x tal que b elevado a x seja igual a a.

Aplicando a definição, temos que:

logab = x → ax = b

a → base

b → logaritmando

Tendo a e b como números reais, tal que: b > 0 e a > 0 e a ≠ 1.

1ª propriedade: logaritmo de um produto

Loga(m · n) = Logam + Logan

Se existe um produto no logaritmando, posso separá-lo como a adição de dois logaritmos de mesma base.

Lembre-se de que a volta também pode ser útil, ou seja, a soma de dois logaritmos de mesma base é igual ao logaritmo do produto desses logaritmandos nessa mesma base.

Veja também: Equação polinomial – equação que traz um polinômio igualado a zero

2ª propriedade: logaritmo do quociente

Se existe uma divisão no logaritmando, podemos separá-lo como a subtração de dois logaritmos nessa mesma base. Assim como na propriedade anterior, saber usar esta, para transformar tanto em dois logaritmos de mesma base quanto em um quociente de um logaritmo só, é importante.

3ª propriedade: potências do logaritmando

Logaxn = n · Logax

Quando o logaritmando possui uma potência, o resultado será o mesmo do produto dessa potência pelo logaritmo.

4ª propriedade: mudança de base

Podemos reescrever o logaritmo na base c. Para fazer a mudança de sua base, precisamos realizar o quociente entre o logaritmo do logaritmando na base c e o logaritmo tendo a base antiga a como logaritmando na base c.

Tipos de equações logarítmicas

O método de resolução das equações depende diretamente de qual tipo de equação logarítmica estamos tratando. As equações logarítmicas podem ser divididas em três casos, e cada um deles conta com técnicas específicas de resolução:

1º caso

logax = logay

Note que, nesse caso, trata-se de dois logaritmos de mesma base, o que muda é o logaritmando de um para o outro.

Exemplos:

a) log4 (3x – 3) = log4 9

b) log(x + 3) + log(x – 3) = 2 · log4

Note que, em ambos, os logaritmos possuem a mesma base.

2º caso

logax = b

Nesse caso temos a igualdade de um logaritmo com um número real.

Exemplos:

a) log3 (5x – 1) = 2

b) log232 = x + 1

3º caso

Equações em que é necessária a substituição de variável.

Nesse caso não há fórmula geradora como as anteriores, porque pode ser necessário realizar-se a substituição da variável de várias maneiras.

Exemplo:

(log2x)² – log2x = 2

Note que, nesse caso, podemos reescrever essa equação como y² – y = 2, e, após encontrar as soluções, encontraremos a solução para log2x.

Utilizamos esse terceiro tipo sempre que o logaritmo não se enquadrar no 1º ou no 2º caso.

Acesse também: Equações exponenciais – possuem incógnitas no expoente e bases maiores que 1

Resolução de equações logarítmicas

Ao resolver-se uma equação logarítmica, é possível que também seja necessário resolver-se uma equação do 1º grau ou uma equação quadrática ou uma equação exponencial, a depender da forma de resolução da equação.

1º caso

Para resolver equações logarítmicas do primeiro caso, buscamos igualar a equação de tal forma que apareça a igualdade de dois logaritmos de mesma base, sabendo que:

logx = logy → x = y

Exemplos:

a) log4 (3x – 3) = log4 9

Perceba que a base é a mesma nos dois casos, logo, basta igualarmos o logaritmando:

log4 (3x – 3) = log4 9 → 3x – 3 = 9

3x – 3 = 9 é uma equação do primeiro grau, logo, isolaremos o x.

Explicação passo-a-passo: