Question

Para os vetores A e B indicados na figura, use diagramas em escala para determinar
1) soma vetorial A+B
2) diferença vetorial A-B
Use as respostas para encontrar módulo e a direção de:
3) -A-B e
4) B-A

Answer 1

De acordo com a figura, temos os vetores $\overset{\to}{A}$ e $\overset{\to}{B}$ com seus respectivos módulos:

$\left\|\overset{\to}{A}\right\|=8,0\text{ m}\\ \\ \left\|\overset{\to}{B}\right\|=15,0\text{ m}$


Vamos encontrar as coordenadas $x$ e $y$ de cada vetor, pelo ângulo formado com os eixos:


$\bullet\;\;$ Para o vetor $\overset{\to}{A}$, temos

$x_{_{A}}=0,\;\;y_{_{A}}=-8,0\text{ m}\\ \\ \overset{\to}{A}=0\mathbf{i}-8,0\mathbf{j}\\ \\ \overset{\to}{A}=-8,0\mathbf{j}\text{ (m)}$


$\bullet\;\;$ Para o vetor $\overset{\to}{B}$, temos

$x_{_{B}}=15,0\cdot \mathrm{sen\,}30,0^{\circ}\\ \\ x_{_{B}}=15,0\cdot \dfrac{1}{2}\\ \\ x_{_{B}}=7,5\text{ m}\\ \\ \\ y_{_{B}}=15,0 \cdot \cos 30,0^{\circ}\\ \\ y_{_{B}}=15,0 \cdot 0,866\\ \\ y_{_{B}}=15,0 \cdot 0,866\\ \\ y_{_{B}}=13,0\text{ m}\\ \\ \\ \overset{\to}{B}=x_{_{B}}\cdot \mathbf{i}+y_{_{B}}\cdot \mathbf{j}\\ \\ \overset{\to}{B}=7,5\mathbf{i}+13,0\mathbf{j}\text{ (m)}$


Sendo assim,

1) $\overset{\to}{A}+\overset{\to}{B}=\left(x_{_{A}}+x_{_{B}} \right )\cdot \mathbf{i}+\left(y_{_{A}}+y_{_{B}} \right )\cdot \mathbf{j}$

$\overset{\to}{A}+\overset{\to}{B}=\left(0+7,5 \right )\cdot \mathbf{i}+\left(-8,0+13,0 \right )\cdot \mathbf{j}\\ \\ \overset{\to}{A}+\overset{\to}{B}=7,5\mathbf{i}+5,0\mathbf{j}\text{ (m)}$


2) $\overset{\to}{A}-\overset{\to}{B}=\left(x_{_{A}}-x_{_{B}} \right )\cdot \mathbf{i}+\left(y_{_{A}}-y_{_{B}} \right )\cdot \mathbf{j}$

$\overset{\to}{A}-\overset{\to}{B}=\left(0-7,5 \right )\cdot \mathbf{i}+\left(-8,0-13,0 \right )\cdot \mathbf{j}\\ \\ \overset{\to}{A}-\overset{\to}{B}=-7,5\mathbf{i}-21,0\mathbf{j}\text{ (m)}$


3) $-\overset{\to}{A}-\overset{\to}{B}=-\left(\overset{\to}{A}+\overset{\to}{B} \right )$

$-\overset{\to}{A}-\overset{\to}{B}=-\left(7,5\mathbf{i}+5,0\mathbf{j} \right)\\ \\ -\overset{\to}{A}-\overset{\to}{B}=-7,5\mathbf{i}-5,0\mathbf{j}\\ \\ \\ \left\|-\overset{\to}{A}-\overset{\to}{B}\right\|=\sqrt{\left(-7,5\right)^{2}+\left(-5,0\right)^{2}}\\ \\ \left\|-\overset{\to}{A}-\overset{\to}{B}\right\|=\sqrt{\left(-7,5\right)^{2}+\left(-5,0\right)^{2}}\\ \\ \left\|-\overset{\to}{A}-\overset{\to}{B}\right\|=\sqrt{56,25+25,00}\\ \\ \left\|-\overset{\to}{A}-\overset{\to}{B}\right\|=\sqrt{81,25}\\ \\ \left\|-\overset{\to}{A}-\overset{\to}{B}\right\|=9,0\text{ m}$


Sendo $\theta$ o ângulo que o vetor $-\overset{\to}{A}-\overset{\to}{B}$ faz com o eixo horizontal, temos que

$\cos \theta=\dfrac{x}{\left\|-\overset{\to}{A}-\overset{\to}{B}\right\|}\\ \\ \cos \theta=\dfrac{-7,5}{9,0}\\ \\ \cos \theta=-0,833\\ \\ \\ \mathrm{sen\,}\theta=\dfrac{y}{\left\|-\overset{\to}{A}-\overset{\to}{B}\right\|}\\ \\ \mathrm{sen\,}\theta=\dfrac{-5,0}{9,0}\\ \\ \mathrm{sen\,}\theta=-0,555\\ \\ \\ \theta=213,7^{\circ}$

(este é um ângulo do terceiro quadrante)


4) $\overset{\to}{B}-\overset{\to}{A}=-\left(\overset{\to}{A}-\overset{\to}{B} \right )$

$\overset{\to}{B}-\overset{\to}{A}=-\left(-7,5\mathbf{i}-21,0\mathbf{j} \right )\\ \\ \overset{\to}{B}-\overset{\to}{A}=7,5\mathbf{i}+21,0\mathbf{j}\\ \\ \\ \left\|\overset{\to}{B}-\overset{\to}{A}\right\|=\sqrt{\left(7,5 \right )^{2}+\left(21,0 \right )^{2}}\\ \\ \left\|\overset{\to}{B}-\overset{\to}{A}\right\|=\sqrt{56,25+441,00}\\ \\ \left\|\overset{\to}{B}-\overset{\to}{A}\right\|=\sqrt{497,25}\\ \\ \left\|\overset{\to}{B}-\overset{\to}{A}\right\|=22,3\text{ m}$


Sendo $\alpha$ o ângulo que o vetor $\overset{\to}{B}-\overset{\to}{A}$ faz com o eixo horizontal, temos que

$\cos \alpha=\dfrac{x}{\left\|\overset{\to}{B}-\overset{\to}{A}\right\|}\\ \\ \cos \alpha=\dfrac{7,5}{22,3}\\ \\ \cos \alpha=0,336\\ \\ \\ \mathrm{sen\,}\alpha=\dfrac{y}{\left\|-\overset{\to}{A}-\overset{\to}{B}\right\|}\\ \\ \mathrm{sen\,}\alpha=\dfrac{21,0}{22,3}\\ \\ \mathrm{sen\,}\alpha=0,942\\ \\ \\ \alpha=70,3^{\circ}$

(este é um ângulo do primeiro quadrante)