Question

Para iniciar uma obra, os pedreiros precisavam cercar uma área retangular com uma tela de alambrado, para a proteção da construção. Como receberam 300 m lineares de tela, os pedreiros precisam saber quais devem ser as dimensões de terreno que será cercado com tela para que a área da construção seja a maior possível.

A alternativa que considera a maior área possível é

Answer 1

Resposta:

As dimensões deveram ser:

base = 75m

altura = 75m

Explicação passo a passo:

A área é base vezes altura, e você tem o perímetro, que é de 300m.

O perímetro é a soma de todos os lados, no caso de um retângulo, é duas vezes a base e duas vezes a altura.

$2b + 2h = 300$

Pode-se isolar qualquer um dos termos, ficando assim com:

$2b = 300 - 2h$

$b = \frac{300 - 2h}{2} \\b = 150 - h$

Assim podemos substituir na fórmula de área

$A = b*h\\A = (150-h)*h\\A = -h^2 + 150h$

Fazendo isso, agora é só saber quando a função tem seu maior valor em função da altura. Podemos fazer isso observando que como a função tem seu coeficiente a negativo, ela tem a concavidade para baixo, logo tem um máximo.

Encontramos esse máximo achando suas raízes, fazendo a média entre elas e jogando na função.

As raízes são 0 e 150, logo o valor médio entre eles é 75, então devemos jogar esse valor na função.

$A = -75^2 + 150*75\\A = 5625m^2$

Agora que sabemos que a altura deve ser de 75, podemos jogar de novo na fórmula de perímetro.

$2b + 2h = 300$

$2b + 2*75 = 300\\2b = 300 - 150\\2b = 150\\b = 75$

Logo chegamos que as mediadas devem ser iguais, ou seja, um quadrado.

Sempre que for dado uma questão como essa, a maior área retangular será quando os lados tiverem a mesma medida.