Para determinar uma parábola, basta conhecermos seu foco e sua diretriz. Tomando como foco o ponto F(1, 3) e como diretriz a reta y = 2, determine a equação da respectiva parábola.
Soluções para a tarefa
Resposta:
A equação da reta diretriz é 2x + 3y = -13; A equação da parábola é -9x² + 12xy + 104x - 4y² + 156y = 0
a) Sabemos que a distância entre o vértice e o foco tem que ser igual à distância entre o vértice e a reta diretriz.
Além disso, temos que a reta que passa pelo foco e pelo vértice é perpendicular à reta diretriz.
Tal reta possui equação -3x + 2y = 0.
Sendo assim, a reta diretriz é da forma 2x + 3y = c.
A distância entre o vértice e o foco é igual a √13.
Logo:
|-c| = 13.
c = -13.
Observe que se c = 13, então a diretriz passará pelo foco.
Portanto, a equação da reta diretriz é 2x + 3y = -13.
b) Considere que temos um ponto P = (x,y) pertencente à parábola.
Então:
(x - 2)² + (y - 3)² = (2x + 3y + 13)²/13
13(x² - 4x + 4 + y² - 6y + 9) = 4x² + 12xy + 52x + 9y² + 78y + 169
-9x² + 12xy + 104x - 4y² + 156y = 0.
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Resposta:
Se a reta diretriz é y=2 e o foco F (1,3), significa que a equação da parábola é da forma y= 2p(x)^2, e como a distância entre a reta diretriz e o foco é sempre igual a p que é 1, temos que a equação da respectiva parábola é y = 2(x)^2
Explicação passo a passo: