Question

Para demonstrar que o conjunto dos números reais não é enumerável, foi usada a seguinte abordagem:
I. Definimos o conjunto A dos números reais que pertencem ao intervalo 0 < x < 1.
II. Supusemos que o conjunto A era enumerável.
III. Se o conjunto é enumerável, é possível construir uma tabela com as linhas numeradas, em que em cada linha se coloque um dos números que pertencem ao conjunto. Todos os números que pertencem ao conjunto devem estar presentes na tabela.
IV. Mostramos que para qualquer tabela que seja proposta no passo II, sempre é possível encontrar um número que pertence ao conjunto A e não aparece na tabela.
V. Consequentemente, o conjunto dos números reais não é enumerável.
Sobre essas afirmações, é CORRETO afirmar que:

Answer 1

Olá!

Analisando as alternativas temos que as afirmativas corretas são: II, III, V

Para demonstrar que o conjunto dos números reais não é enumerável, é usado o teorema dos intervalos encaixados.

Nele primerio é suposto que o conjunto A (dos numeros reais) era enumerável. e dada uma uma sucessão $[a_{n} , b_{n}]$ onde $n = 1 ...  \infty$ de intervalos fechados de numeros reais $\mathbb {R}$ encaixados.

$x_1 < a_1 < b_1$

Então se cumple que existe um ponto $x \in \mathbb {R}$ que pertence a todos os intervalos, ou seja, a intersecção de todos esses intervalos contém pelo menos um ponto.

Porém, para isso é  essencial que os intervalos sejam fechados, pois o resultado não é válido para intervalos abertos.

Portanto, encontramos um número real x que não tem par nos números naturais, isto é, que não é uma imagem de nenhum dos numeros naturais.