Para cada uma das equações a seguir, calcule o valor de 'k" para que ela admita:
I - duas raízes reais e diferentes; II - duas raízes reais e iguais; III - nenhuma raiz real.
a) x² + 6x + k = 0
b) kx² - 4x + 1 = 0
c) 2x² + 12x - 3k = 0
d) 3x² - 4x + 2k = 0
Soluções para a tarefa
Explicação passo a passo:
a) raízes reais e iguais ---> delta = 0
x²-12x+k=0
Δ = b² - 4ac = 0
Δ = (-12)² - 4(1)(k) = 0
144 - 4k = 0
-4k = -144
4k = 144 ---> k = 144/4 --> k = 36
============================================
b) raízes reais e diferentes ---> delta > 0
2x²-6x+3k=0
Δ = b² - 4ac >0
(-6)² - 4(2).(3k) > 0
36 - 24k > 0
-24k > -36
24k >36
k > 36/24 --> k > 3/2
=======================================
c) delta = 0
x²+kx+4=0
Δ = 0
k² - 4(1).(4) = 0
k² -16 = 0
k² =16 --> k= √16 -->k = 4
==========================================
d) delta > 0
kx² -2(k+1)x + (k+5) = 0
a = k
b = (-2k-2)
c = (k+5)
Δ = b² - 4ac> 0
(-2k-2)² - 4k.(k+5) > 0
4k² + 8k + 4 - 4k² - 20k > 0
-12k + 4 > 0
-12k > - 4
12k > 4
k > 4/12 ---> k > 1/3
Explicação passo a passo:
a) raízes reais e iguais ---> delta = 0
x²-12x+k=0
Δ = b² - 4ac = 0
Δ = (-12)² - 4(1)(k) = 0
144 - 4k = 0
-4k = -144
4k = 144 ---> k = 144/4 --> k = 36
============================================
b) raízes reais e diferentes ---> delta > 0
2x²-6x+3k=0
Δ = b² - 4ac >0
(-6)² - 4(2).(3k) > 0
36 - 24k > 0
-24k > -36
24k >36
k > 36/24 --> k > 3/2
=======================================
c) delta = 0
x²+kx+4=0
Δ = 0
k² - 4(1).(4) = 0
k² -16 = 0
k² =16 --> k= √16 -->k = 4
==========================================
d) delta > 0
kx² -2(k+1)x + (k+5) = 0
a = k
b = (-2k-2)
c = (k+5)
Δ = b² - 4ac> 0
(-2k-2)² - 4k.(k+5) > 0
4k² + 8k + 4 - 4k² - 20k > 0
-12k + 4 > 0
-12k > - 4
12k > 4
k > 4/12 ---> k > 1/3
espero ter ajudado ;)